2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】

2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。)1.已知集合뗔돘돘돘，뗔쳌쳌쳌쳌，则뗔䁧A.쳌쳌쳌B.쳌쳌쳌C.쳌쳌쳌쳌D.쳌쳌2.已知，则sin돘＝（）A.B.C.-D.3.已知뗔，뗔log，뗔log，则䁧A.൐൐B.൐൐C.൐൐D.൐൐4.如图，在䁨中，是䁨的中点．若＝，＝，则＝（）A.B.C.-D.+5.“ln൐ln”是“൐”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数䁧돘＝cos돘䁧൐的图象与直线＝的相邻两个交点间的距离等于，则䁧돘的图象的一条对称轴是（）A.돘＝-B.C.D.7.在䁨中，뗔，䁨뗔，且䁨＝䁨，则䁨䁨뗔䁧A.B.C.D.试卷第1页，总11页,8.已知䁧돘是定义在上的偶函数，且当돘䁧쳌时，，则＝（）A.B.C.D.9.已知函数䁧돘＝若存在实数，使得䁧＝成立，则实数的取值范围是（）A.쳌B.䁧쳌쳌C.쳌D.䁧쳌10.已知奇函数䁧돘的定义域为，且̵䁧돘是䁧돘的导函数．若对任意，都有̵䁧돘cos돘䁧돘sin돘i，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。)11.已知向量＝䁧쳌，＝䁧′쳌，若，则实数′＝________．12.已知돘൐，൐，돘＝，则돘的最小值为________，此时돘的值为________．13.在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量䁧݉随时间′䁧间变化的规律可表示为＝，䁧൐如图所示，则＝________；试卷第2页，总11页,实验表明，当房间中该药物含量不超过݉时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入．14.设是公差为的等差数列，为其前项和．能说明“若൐，则数列为递增数列”是假命题的一组和的值为________．15.公元前世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格．后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式．如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点在以线段䁨为直径的圆上，为弧的中点，点在线段䁨上且＝，点为䁨的中点．设＝，䁨＝．给出下列四个结论：②＝sin；③䁨＝䁧cos；④䁨＝䁧cos．其中，正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。)16.已知函数䁧돘＝sin돘cos돘．䁧Ⅰ求及䁧돘的最小正周期；䁧Ⅱ若，求䁧돘的值域．17.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，＝＝，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．䁧Ⅰ求数列的通项公式；䁧Ⅱ求数列的前项和．条件①：＝；条件②：＝；条件③：＝．试卷第3页，总11页,18.在䁨中，＝，䁨＝．䁧Ⅰ若＝，䁧ⅰ求䁨；䁧ⅱ设是边䁨上一点，且䁨＝，求sin䁨；䁧Ⅱ若是䁨的内角平分线，求的取值范围．19.已知函数䁧돘＝돘ln돘䁧．䁧Ⅰ当＝时，求函数䁧돘的极值；䁧Ⅱ若不等式对任意돘൐恒成立，求的取值范围．20.已知函数，．䁧Ⅰ当＝，＝时，判断函数䁧돘在区间内的单调性；䁧Ⅱ已知曲线在点处的切线方程为．䁧ⅰ求䁧돘的解析式；䁧ⅱ判断方程在区间䁧쳌上解的个数，并说明理由．21.已知数列是无穷数列，其前项和为若对任意的正整数，存在正整数，䁧使得＝，则称数列是“数列”．䁧Ⅰ若＝䁧＝쳌,…，判断数列是否是“数列”，并说明理由；䁧Ⅱ设无穷数列的前项和，且൐，证明数列不是“数列“；䁧Ⅲ证明：对任意的无穷等差数列，存在两个“数列“和，使得＝䁧＝쳌…,成立．试卷第4页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.A2.B3.C4.C5.A6.D7.B8.B9.C10.D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.12.,13.,14.＝，＝（答案不唯一）15.①③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.因为䁧돘＝sin돘cos돘＝sin䁧돘），（1）（）＝sin（，又＝＝；（2）因为돘，所以돘，则sin䁧돘），所以sin䁧돘，，故当돘时，函数䁧돘的值域为．17.选条件①：＝；条件②：＝．（1）设的公差为，由题意可得＝，䁧䁧＝，解得＝，＝＝䁧＝，；（2）设的公比为，䁧൐＝，＝，试卷第5页，总11页,则＝＝，＝，所以数列的前项和为＝．18.䁧䁧ⅰ因为＝，䁨＝，所以：由余弦定理知，䁨＝䁨䁨cos，即＝䁨䁨cos，解得䁨＝．䁧ⅱ∵䁨＝，∴＝＝，∴＝＝，在䁨中，由正弦定理知，＝，即＝，解得sin䁨＝．（2）设＝돘），由䁨＝䁨，即•sin＝•돘sin，即有sincos＝sin，由sin，可得cos＝돘，又ii，可得icosii，解得i돘i，则的取值范围为䁧，）．19.函数䁧돘的定义域是䁧쳌，（1）当＝时，̵䁧돘＝＝，试卷第6页，总11页,令̵䁧돘＝，解得：돘＝，돘，̵䁧돘돘䁧쳌䁧쳌̵䁧돘-+䁧돘递极递减小增值故䁧돘的极小值是䁧＝，无极大值；（2）不等式䁧돘돘돘恒成立等价于돘돘돘ln돘恒成立，令݉䁧돘＝돘돘돘ln돘，돘䁧，故̵݉䁧돘＝돘＝＝，（1）当时，∵돘䁧，∴돘൐，令̵݉䁧돘＝，解得：돘＝，돘，̵݉䁧돘돘䁧쳌䁧쳌̵݉䁧돘-+݉䁧돘递最递减小增值݉䁧＝当时，不等式݉䁧돘恒成立当且仅当，故符合题意；试卷第7页，总11页,（2）当＝时，̵݉䁧돘＝，故݉䁧돘在䁧쳌递增，故不合题意，（3）ii时，令̵݉䁧돘＝，则ii，돘，̵݉䁧돘돘䁧쳌䁧䁧쳌쳌̵݉䁧돘+-+݉䁧돘递极递极递增大减小增值值显然݉䁧＝i，（3）当i时，令̵݉䁧돘＝，则൐，돘，̵݉䁧돘돘䁧쳌䁧쳌䁧쳌̵݉䁧돘+-+݉䁧돘递极递极递增大减小增值值显然，݉䁧＝，不合题意，综上：．20.（I）当＝，＝时，，돘时，̵䁧돘i，䁧ܫܫ䁧ሻ，，试卷第8页，总11页,∴，由曲线在点的斜率-，，∴（）＝＝）＝，∴＝，＝，䁧ሻሻ方程在区间䁧，理由如下：设䁧돘＝䁧돘＝，则，当돘时，̵䁧돘i，又（）＝）＝，∴䁧돘在䁧，]上有一个零点，当돘（）时，䁧돘i，当돘，时，间̵䁧돘＝돘cos돘，又间（）i，∴存在돘，使得间䁧돘＝，当돘时，̵䁧돘൐，当돘䁧돘쳌时，̵䁧돘i，试卷第9页，总11页,又䁧＝，∴䁧돘在[]上有个零点，综上䁧돘在䁧쳌上有个零点，，上有个零点．21.（1）数列是“数列”，理由如下：当＝时，．对任意正整数，设＝，则是整数，且＝䁧＝．∴数列是“数列”．（2）证明：∵＝，∴＝＝，当时，＝＝䁧，∴＝．下面证明数列不是“数列”：∵൐，∴数列严格递增且均为正数，∴iii，当൐时，䁧൐＝䁧൐＝，当时，对任意正整数൐，数列不是“数列“；䁧Ⅲ证明：对任意的无穷等差数列，存在两个“数列“和，使得＝䁧＝，…．若数列′的通项公式′＝，（为常数）是“数列”，证明如下：当′＝时，，对任意的正整数，设＝，且＝＝′，所以′是“数列”，同理：若数列间的通项公式为间＝䁧间，（为常数），则：则间是“数列”，设数列是以为首项，公差为的数列．所以＝䁧＝䁧，设＝，由于＝䁧＝䁧䁧，所以＝，由于数列“和是“数列”，且＝，试卷第10页，总11页,所以命题得证．试卷第11页，总11页