2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】

2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合＝香䁕，＝ᦙ䁡䁕，则＝（）A.ᦙ䁡䁕B.ᦙ䁡䁕C.ᦙ䁡䁡䁕D.ᦙᦙ䁡䁡䁕2.已知，且sin，则tan＝（）香香A.B.C.ᦙD.ᦙ香香3.下列函数中，既是奇函数又在区间䁡上单调递增的是（）A.＝ᦙB.＝sinᦙC.＝logD.＝ᦙᦙ4.关于函数＝sincos有下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数的最大值为；③函数在区间上单调递减．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③5.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是A.若‸，则B.若‸，则‸C.若，则D.若‸，则‸6.已知函数＝ᦙᦙ䁡恰有两个零点，则实数的取值范围是（）䁡䁡A.B.䁡C.䁡D.7.已知䁕N为等比数列，则“”是“䁕为递减数列”的()䁡A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.设䁡，为椭圆䁡的两个焦点，为上一点且在第二象限．若䁡为等腰三角形，则点的横坐标为（）䁡䁡A.B.C.ᦙD.ᦙ9.在中，＝，＝，点在边上，且䁡，则的取值范围是（）试卷第1页，总8页,䁡䁡A.䁡ݖB.䁡ݖC.䁡ݖD.䁡ݖ10.已知集合，满足：ⅰ＝，＝；ⅱ䁡，若且䁡，则；ⅲ䁡，若且䁡，则．给出以下命题：①若集合中没有最大数，则集合中有最小数；②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数；③若集合中有最大数，则集合中没有最小数；④若集合中有最大数，则集合中可能有最小数．其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②③C.③④D.①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)11.已知向量䁡ᦙ䁡，，且，则＝________．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．13.已知直线ᦙ＝与圆＝相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为________．䁡䁡14.已知，是实数，给出下列四个论断：①；②；③；④．以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：䁡䁡________________，________，则．（答案不唯一）．䁡15.已知函数（为常数）．若ᦙ䁡，则＝________；若函ᦙ䁡数存在最大值，则的取值范围是________．16.䁡年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳䁡香的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足ᦙ（表示碳䁡香原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳䁡香的质量试卷第2页，总8页,䁡是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：log䁡晦䁪，log晦）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)17.在中，＝，点在边上，且＝䁪，＝．Ⅰ求的值；Ⅱ若＝䁡，求sin的值．18.已知䁕是各项均为正数的等比数列，＝䁡䁪，＝．䁡Ⅰ求䁕的通项公式；Ⅱ设＝log，求数列䁕的前项和，并求的最大值．19.如图，在四棱锥ᦙ香中，侧面香是等边三角形，且平面香‸平面香，为香的中点，香，香‸香，＝香＝，香＝香．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求二面角ᦙᦙ香的余弦值；Ⅲ直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20.已知椭圆䁡经过两点䁡，ᦙ．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），求的最大值．ln21.已知函数．Ⅰ求曲线＝在点（䁡䁡）处的切线方程；ᦙ䁡Ⅱ当＝䁡时，证明：；Ⅲ判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22.已知无穷数列䁕，䁕，䁕满足：，＝ᦙ，＝ᦙ䁡䁡，䁡＝ᦙ．记＝max䁕（max䁕表示个实数，，中的最大值）．Ⅰ若䁡＝䁡，＝，＝，求䁡，䁡的可能值；Ⅱ若䁡＝䁡，䁡＝，求满足＝的䁡的所有值；Ⅲ设䁡，䁡，䁡是非零整数，且䁡，䁡，䁡互不相等，证明：存在正整数，使得数列䁕，䁕，䁕中有且只有一个数列自第项起各项均为．试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.C2.C3.D4.B5.D6.B7.B8.D9.A10.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.ᦙ䁡12.,䁪13.；14.若,,䁡15.,ᦙݖ16.香䁡䁡三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（1）因为＝䁪，所以＝䁡．在中，＝，＝䁡，＝，由余弦定理＝ᦙcos，得ᦙ香＝（0）所以＝（4）（2）在中，＝香，＝䁡，＝䁪，由余弦定理＝ᦙcos，得䁡．香䁡由正弦定理，得，sinsinsinsin䁪所以sin．䁡18.（1）设䁕的公比为，因为䁡＝䁡䁪，＝，所以ᦙ＝（0）䁡解得＝ᦙ（舍去）或．䁕的通项公式为䁡䁪䁡ᦙ䁡ᦙ因此．（2）由Ⅰ得＝ᦙlog＝䁡ᦙ，当时，ᦙᦙ䁡＝ᦙ，试卷第4页，总8页,故䁕是首项为䁡＝䁡，公差为ᦙ的单调递减等差数列．䁡则䁡ᦙ䁡ᦙᦙᦙ．又＝，所以数列䁕的前香项为正数，所以当＝香或时，取得最大值，且最大值为香＝＝19.（1）如图，取中点，连结，．因为为香中点，香＝香，䁡所以香，香．又因为香，＝，所以，＝，所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）取香中点，连结，．因为香为等边三角形，所以‸香．又因为平面香‸平面香，平面香平面香＝香，所以‸平面香．因为香，香＝＝，所以四边形香为平行四边形．因为香‸香，所以‸香．如图建立空间直角坐标系ᦙ，则ᦙ䁡．所以香．设平面的一个法向量为䁡，试卷第5页，总8页,䁡香则即晦䁡令＝ᦙ，则䁡ᦙ䁡ᦙ．显然，平面香的一个法向量为䁡，䁡ᦙ䁪所以cos䁡ᦙ．䁡香由题知，二面角ᦙᦙ香为锐角，䁪所以二面角ᦙᦙ香的余弦值为．香Ⅲ直线上存在点，使得平面．理由如下：设．因为，ᦙᦙ，所以，ᦙᦙ．因为平面，所以平面当且仅当䁡．即ᦙᦙᦙ䁡ᦙ，解得＝（2）所以直线上存在点，使得平面，此时．20.（1）因为椭圆䁡过点䁡，ᦙ，所以䁡䁡得䁡䁡故椭圆的标准方程为䁡，（2）由题易知直线的斜率不为，设＝䁡，䁡由得ᦙ䁡＝，显然䁡设䁡䁡，，ᦙᦙ䁡则䁡䁡．又䁡䁡ᦙ．以为直径的圆的圆心坐标为䁡，半径为，香香䁡ᦙᦙ䁡香香故圆心到直线的距离为．䁡䁡䁡䁡䁡所以ᦙᦙ．䁡䁡香香所以䁡ᦙ䁡ᦙ香䁡䁡䁡䁡䁡，䁡试卷第6页，总8页,䁡䁡䁡因为䁡䁡，所以䁡䁡，即䁡香．䁡䁡䁡所以䁡．香当＝时，直线与椭圆有交点，满足题意，且＝䁡，所以的最大值为（1）ᦙln䁡21.函数的定义域为，．䁡（1）因为䁡＝，䁡，䁡䁡所以曲线＝在点（䁡䁡）处的切线方程为ᦙᦙ䁡，䁡即ᦙ䁡ᦙ䁡＝；ln（2）证明：当＝䁡时，．䁡ᦙ䁡欲证，lnᦙ䁡即证，䁡即证lnᦙ䁡令＝lnᦙ䁡，ᦙᦙ䁡䁡则ᦙ．当变化时，，变化情况如下表：䁡䁡䁡+-↗极↘大值所以函数的最大值为䁡＝，故ᦙ䁡所以；Ⅲ函数在定义域内不是单调函数．理由如下：令ᦙln䁡，䁡因为ᦙᦙᦙ，所以在上单调递减．注意到䁡＝䁡䁡ᦙln䁡䁡䁡ᦙ䁡．且䁡䁡所以存在䁡䁡，使得＝（0）当时，，从而，所以函数在上单调递增；当时，，从而，所以函数在上单调递减．故函数在定义域内不是单调函数．试卷第7页，总8页,22.（1）由＝䁡ᦙ䁡，得䁡ᦙ䁡＝，所以䁡＝；由＝ᦙ，得ᦙ＝，所以＝，又＝䁡ᦙ䁡＝䁡ᦙᦙ，故＝，䁡＝，䁡＝所以䁡，䁡的所有可能值为䁡＝，䁡＝；䁡＝，䁡＝ᦙ；䁡＝ᦙ，䁡＝；䁡＝ᦙ，䁡＝ᦙ（2）若䁡＝䁡，䁡＝，记䁡＝，ᦙ䁡则＝ᦙ，＝ᦙ䁡，＝ᦙ䁡，䁡䁡＝ᦙ䁡ᦙ䁡，ᦙ䁡＝䁡ᦙᦙ，＝ᦙᦙᦙ䁡，当䁡时，＝ᦙ，＝ᦙ䁡，＝䁡，＝䁡，由＝，得＝䁡，不符合；当䁡时，＝ᦙ，＝ᦙ䁡，＝ᦙ，ᦙ䁡䁡晦ᦙ䁡䁡晦由＝，得＝䁡，符合；䁡当时，＝ᦙ，＝ᦙ，＝ᦙ䁡，ᦙ由＝，得＝，符合；综上，䁡的所有取值是ᦙ，ᦙ䁡，䁡，（2）Ⅲ先证明“存在正整数，使，，中至少有一个为”．假设对任意正整数，，，都不为，由，，是非零整数，且，，互不相等，得，．䁡䁡䁡䁡䁡䁡䁡若对任意，，，都不为，则，即对任意䁡，．当䁡时，䁡＝ᦙmax䁕，䁡＝ᦙ，䁡＝ᦙ，所以，䁡＝max䁡䁡䁡䁕．所以，䁕严格单调递减，由为有限正整数，所以，必存在正整数，使得，矛盾．所以，存在正整数，使，，中至少有一个为（0）不妨设＝，且䁡，，…，ᦙ䁡，则ᦙ䁡＝ᦙ䁡，且ᦙ䁡＝ᦙ䁡ᦙ䁡，否则，若ᦙ䁡＝ᦙ䁡＝ᦙ䁡，因为ᦙ䁡ᦙ䁡ᦙ䁡＝，则必有ᦙ䁡＝ᦙ䁡＝ᦙ䁡＝，矛盾．于是，＝ᦙ䁡ᦙᦙ䁡，＝ᦙ䁡ᦙᦙ䁡，且＝ᦙ，所以，䁡＝，䁡＝，䁡＝ᦙ＝ᦙ，依次递推，即有：对，＝，䁡＝，䁡＝ᦙ，且，此时有且仅有一个数列䁕自第项起各项均为（0）综上，结论成立．试卷第8页，总8页