【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 简单的三角恒等变换（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第5节简单的三角恒等变换新人教B版一、选择题1．(文)(2022·河北唐山检测)已知x∈(－，0)，cos2x＝a，则sinx＝(　　)A.　　　　　B．－C.D．－[答案]　B[解析]　a＝cos2x＝1－2sin2x，∵x∈(－，0)，∴sinx<0，∴sinx＝－.(理)已知π<α<2π，则cos等于(　　)A．－　　　B．C．－D．[答案]　C[解析]　∵π<α<2π，∴<<π.∴cos＝－.2．(文)(2022·山东淄博一模)已知tanα＝2，那么sin2α的值是(　　)A．－B．C．－D．[答案]　B[解析]　sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，选B.(理)(2022·山东潍坊模拟)已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα的值是(　　)-10-\nA.B．－C．－2D．2[答案]　A[解析]　∵tanα＝2，∴sin2α－sinαcosα＝＝＝.3．(2022·福建石狮模拟)函数y＝cos2(x＋)的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为(　　)A．πB．C.D．[答案]　D[分析]　先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求出a的最小值．[解析]　y＝cos2(x＋)＝＝＝－sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y＝－sin[2(x－a)]＝－sin(2x－2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有－2a＝＋kπ，k∈Z，即a＝－－，k∈Z，所以当k＝－1时，a有最小值为，故选D.4．(2022·浙江建人高复月考)tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°的值等于(　　)A.B．C．－D．－[答案]　D[解析]　因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.5．(2022·九龙坡区质检)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝(　　)A.B．－C.D．－[答案]　C[解析]　本题主要考查三角函数的两角和、差公式的运用．∵0<α<，－<β<0，∴＋α∈(，)，－∈(，)，-10-\n∵cos(＋α)＝，cos(－)＝，∴sin(＋α)＝，sin(－)＝，∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)＝×＋×＝.6．(2022·东北三省四市联考)已知α，β∈(0，)，＝，且2sinβ＝sin(α＋β)，则β的值为(　　)A.B．C.D．[答案]　A[解析]　由＝，得tanα＝.∵α∈(0，)，∴α＝，∴2sinβ＝sin(＋β)＝cosβ＋sinβ，∴tanβ＝，∴β＝.二、填空题7．(2022·山东青岛阶段测试)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于________．[答案]　－[解析]　∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.8．(文)(2022·南京调研二)计算：＝________.[答案]　[解析]　＝＝＝.(理)的值为________．[答案]　[解析]　-10-\n＝＝＝＝＝＝.9．(2022·辽宁铁岭一中期中)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．[答案]　[解析]　本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<，∴<α＋<，又cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝＝，∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝，cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1＝2×()2－1＝，∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝.[点评]　已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．三、解答题10．(文)(2022·四川理，16)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．-10-\n[分析]　第(1)问，通过整体思想，将3x＋看作一个整体，借助y＝sinx的单调递增区间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要注意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f()，然后利用和角公式展开整理，得到关于sinα＋cosα与cosα－sinα的方程，再对sinα＋cosα与0的关系进行讨论，得到cosα－sinα的值．[解析]　(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－sinαsin)(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.(理)(2022·北京东城区检测、山东实验中学三诊)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式；(3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝所围成图形的面积．[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋＋a＝sin(2x＋)＋a＋，∴最小正周期T＝π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，-10-\n得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin(2x＋)≤1.当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝，∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋)＋.(3)由题意知g(x)＝sinx，所求面积为∫0sinxdx＝(－cosx)|0＝1.一、选择题11．(2022·樟树中学月考)已知tan＝3，则cosα＝(　　)A.B．－C.D．－[答案]　B[解析]　cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－，故选B.12．已知f(x)＝x3－x2－3x＋4，f′(x)是f(x)的导函数，tanα，tanβ是方程f′(x)＝0的两个实数根，则2sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos2(α＋β)的值为(　　)A．3　　　B．0　　　C.　　　D．－3[答案]　B[解析]　∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，-10-\n∴f′(x)＝x2－2x－3，由根与系数的关系得，tanα＋tanβ＝2，tanα·tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝＝＝.原式＝＝＝＝0.13．在△ABC中，acos2＋ccos2＝b，则(　　)A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列[答案]　A[解析]　∵acos2＋ccos2＝b，∴a·＋c·＝b，∴(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝3b，∵acosC＋ccosA＝b，∴a＋c＝2b，∴a、b、c依次成等差数列．14．(2022·兰州名校检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为(　　)A.B．C.D．[答案]　A[解析]　由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.二、填空题15．(文)(2022·河南六市联考)的值为________．[答案]　-10-\n[解析]　原式＝＝＝.(理)(2022·江苏灌云高级中学期中)求值：＝________.[答案]　[解析]　由题意得＝＝＝.16．(2022·湖北武汉联考)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α∈(0，)，α＋β∈(，π)，则cosβ的值为________．[答案]　[解析]　∵α∈(0，)，α＋β∈(，π)，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝＝＝，sin(α＋β)＝＝＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋×＝.三、解答题17．(文)(2022·天津红桥区质检)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f(x)在[－，]上的最值，并求出取得最值时自变量x的取值．[解析]　f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋sin(2x＋)，(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ时f(x)单调递增，所以f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]．(2)函数f(x)在[－，]上单调递增，在(，]上单调递减，-10-\n所以f(x)max＝＋2，此时x＝；f(x)min＝1，此时x＝－.(理)(2022·天津十二区县模拟)已知f(x)＝2cos2x＋2sin(π－x)cos(－x)＋a－(x∈R，a∈R，a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若当x∈[，]时，g(x)的最小值为2，求a的值及函数y＝g(x)的解析式．[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin(2x＋)＋a，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(2)f(x)＝2sin(2x＋)＋a向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝2sinx＋a，当x∈[，]时，g(x)∈[a＋1，a＋]，g(x)取最小值2，∴a＋1＝2，a＝1，所以g(x)＝2sinx＋1.18．(文)(2022·沈阳市东北育才学校一模)已知α为锐角，且tan(＋α)＝2.(1)求tanα的值；(2)求的值．[解析]　(1)∵tan(＋α)＝2，∴＝2，∴tanα＝.(2)＝＝＝＝sinα.因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，-10-\n又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，又α为锐角，所以sinα＝，所以＝.(理)(2022·江西赣州市博雅文化学校月考)已知函数f(x)＝cos(2x－)＋2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)若α为锐角，且f()＝，求sinα的值．[解析]　(1)f(x)＝cos(2x－)＋2sin2x＝cos2xcos＋sin2xsin＋(1－cos2x)＝cos2x＋sin2x＋1－cos2x＝sin2x－cos2x＋1＝sin(2x－)＋1，所以f(x)的最大值为2，最小正周期为π.(2)∵f()＝sin(α－)＋1＝，∴sin(α－)＝－，∵0<α<，∴－<α－<，cos(α－)＝.sinα＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝.-10-