【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第1节 数列的概念(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第1节数列的概念新人教B版一、选择题1.(2022·江西吉安一中段考)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是( )A.a2022=-1,S2022=2B.a2022=-3,S2022=5C.a2022=-3,S2022=2D.a2022=-1,S2022=5[答案] D[解析] ∵n≥2时,an+1=an-an-1,a1=1,a2=3,∴a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,…,故{an}为周期数列,其周期为6,且S6=0,∴a2022=a4=-1,S2022=a1+a2+a3+a4=5.2.已知数列{an}的通项公式为an=log3(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的最小自然数n等于( )A.83B.82C.81D.80[答案] C[解析] ∵an=log3=log3n-log3(n+1),∵Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解得n>34-1=80.3.(2022·成都七中期中)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a20等于( )A.0B.-C.D.[答案] B[解析] 本题考查了数列的周期性.由a1=0,an+1=(n∈N*),得a2=-,a3=,a4=0,…,数列的周期为3,所以a20=a2=-.[点评] 递推数列的题型:(1)已知相邻两项关系,求通项.①(2022·广东华附三模)已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不确定[答案] A[解析] 由an+1-an=3>0,可知数列中后一项比前一项大,根据数列的分类可知该数列为递增数列.②(2022·湖南十二校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*)且a1=6,那么a10=( )-10-\nA.10B.60C.6D.54[答案] C(2)已知三项关系求通项③(2022·天津六校第三次联考)数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则a7=________.[答案] 1[解析] 由已知an+1=an+an+2,a1=1,a2=2,能够计算出a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1.(3)已知an与Sn关系求通项④(2022·福建宁德质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+1,n∈N*,则a6等于( )A.32B.48C.64D.96[答案] B[解析] 当n≥2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an.所以a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48,故选B.⑤(2022·湖北黄冈月考)数列{an}满足a1+a2+…+an=3n+1,n∈N*,则an=________.[答案] [解析] 当n=1时,a1=12.因为a1+a2+…+an=3n+1,n∈N*,①所以当n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-2.②①-②,得an=3n+1.所以an=(4)周期数列⑥已知数列{an}中,a1=,an+1=则a2022等于( )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵an+1=又a1=,∴a2=2×-1=,a3=2×-1=,a4=2×=,a5=2×=,∴数列{an}以4为周期,∵=504,∴a2022=a4=.-10-\n4.(2022·河南中原名校二联)若{bn}为等差数列,b2=4,b4=8.数列{an}满足a1=1,bn=an+1-an(n∈N*),则a8=( )A.56B.57C.72D.73[答案] B[解析] 因为2d=b4-b2=8-4=4,d=2,bn=2n,所以an+1-an=2n,因此a8=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)+a1=2×7+2×6+…+2×1+1=57.5.(文)(2022·麻城实验高中月考)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为πn,则π2022的值为( )A.-B.-1C.D.1[答案] D[解析] ∵a1=2,an+1=1-,∴a1=2,a2=,a3=-1,a4=2,故数列{an}是周期为3的周期数列,且a1a2a3=-1,又2022=670×3+2,∴π2022=(-1)670×2×=1.(理)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a2022的值是( )A.2022×2022B.2022×2022C.2022×2022D.2022×2022[答案] B[解析] 解法1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形为:a1=0×1,a2=1×2,a3=2×3,a4=3×4,猜想a2022=2022×2022,故选B.解法2:an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…a3-a2=2×2,a2-a1=2×1.∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2[(n-1)+(n-2)+…+1].=2=n(n-1).∴a2022=2022×2022.6.(文)(2022·安徽阜阳市第一中学二模)数列、、、、、、、、、、…依次排列到第2022项属于的范围是( )A.(0,)B.[,1)C.[1,10]D.(10,+∞)[答案] B-10-\n[解析] 分子分母和为k+1的有k项,由1+2+3+…+n≤2022得,n≤62,且1+2+3+…+62=1953,2022-1953=57,∴第2022项为和为64的第57项,即∈[,1),故选B.(理)将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A.34950 B.35000 C.35010 D.35050[答案] A[解析] 由“第n组有n个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,公差为1的等差数列,前99组数的个数共有=4950个,故第100组中的第1个数是34950,选A.二、填空题7.(2022·北京东城区综合练习)若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=________.[答案] 20[解析] 由题意,若{an}为调和数列,则{}为等差数列,∵{}为调和数列,∴数列{xn}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11==20.8.(文)(2022·连云港市灌云县四中队月测)已知数列{an}的首项a1=1,且an=2an-1+1(n≥2),则a5=________.[答案] 31[解析] 解法1:∵an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),∴{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1,∴a5=31.解法2:a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=4a3+3=4(2a2+1)+3=8a2+7=8(2a1+1)+7=16a1+15=31.(理)(2022·江苏调研)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.[答案] 2n+1-2[解析] 由已知an+1-an=2n,a1=2得a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1,由累加法得an=2+2+22+…+2n-1=2n,从而Sn==2n+1-2.9.(文)(2022·河南郑州质检)已知有序整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是________.[答案] (5,7)[解析] 按规律分组:第一组(1,1);第二组(1,2),(2,1);第三组(1,3),(2,2),(3,1).则前10组共有1+2+…+10==55个有序实数对,第60个数对应在第11组中,即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,(11,1),故第60个数对为(5,7).-10-\n(理)(2022·辽宁五校协作体期中)已知=ad-bc,则++…+=________.[答案] -2022[解析] 由题意,得=2022×2022-2022×2022=2022×2022-(2022+2)×(2022-2)=-12+4=-8,根据相同方法,计算可得每项都是-8,++…+中共有的项数为+1=252,则所求算式的值为-8×252=-2022.三、解答题10.(文)(2022·东北三校二模)设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log4|an|,求数列{}前n项和Tn.[解析] (1)当n=1时,a1=5S1+1,∴a1=-.又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,∴an+1-an=5an+1,又∵a1=-≠0,即=-,∴数列{an}是首项为a1=-,公比为q=-的等比数列,∴an=(-)n.(2)bn=log4|(-)n|=-n,所以==-,Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=.(理)已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)判断数列{cn}的增减性.[解析] (1)Sn=n2+1,∴an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=2,∵bn=,∴b1==,n≥2时,bn==,∴bn=-10-\n(2)由题设知,Tn=b1+b2+…+bn,T2n+1=b1+b2+…+b2n+1,∴cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1,∴cn+1-cn=(bn+2+bn+3+…+b2n+3)-(bn+1+bn+2+…+b2n+1)=b2n+2+b2n+3-bn+1=+-<+-=0,∴cn+1<cn,即数列{cn}为递减数列.一、选择题11.(2022·日照市阶段训练)已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在经过点A(8,4)的定直线l上,则数列{an}的前15项和S15=( )A.12B.32C.60D.120[答案] C[解析] 解法1:∵点(n,an)在定直线l上,∴{an}为等差数列,由条件知(8,a8)在直线l上,l经过(8,4),∴a8=4,∴S15=15a8=60.解法2:可设定直线为y-4=k(x-8),知an-4=k(n-8),得an=k(n-8)+4,则{an}是等差数列,S15==15·a8=15×4=60.12.(2022·江苏南京第九中学期中)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30[答案] B[解析] 观察三角形数的增长规律,可以发现从第二项起,每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.[点评] 解答这种图形问题,关键是按照要求依次列出各图形待求元素数,找出其规律.试一试:(2022·山东青岛理工大学附中摸底)如图所示,这是一个正六边形的序列,则第n个图形的边数为( )A.5n-1B.6nC.5n+1D.4n+2[答案] C[解析] 第一个是六边形,即a1=6,以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边,∴-10-\na2=6+5=11,a3=11+5=16,观察可得选项C满足此条件.13.设a1,a2,…,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50中数字1的个数为( )A.24B.15C.14D.11[答案] A[解析] ⇒a+a+…+a=39.故a1,a2,…,a50中有11个零,设有x个1,y个-1,则⇒故选A.14.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5等于( )A.32B.64C.-32D.-64[答案] A[解析] 由条件知=(-)n-1(n≥2),∴a5=a1····=1×(-)·(-)2·(-)3·(-)4=(-)10=32.二、填空题15.(文)(2022·上海八校联合调研)已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn.若Sn+1=2Sn+1,则an=________.[答案] [解析] 由Sn+1=2Sn+1,有Sn=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1=2an,又S2=a1+a2=2a1+1,a2=3,所以数列{an}从第二项开始成等比数列,∴an=(理)(2022·山东淄博一模)已知在平面直角坐标系中有一个点列:P1(0,1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n∈N*).若点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为(n∈N*),则|P2022P2022|等于________.[答案] 21006[解析] 依题意得,P1(0,1),P2(1,1),P3(0,2),P4(2,2),P5(0,4),P6(4,4),P7(0,8),P8(8,8),…观察点列可知,横坐标构成的规律为xn=纵坐标构成的规律为yn=因此,P2022(0,21006),P2022(21006,21006),所以|P2022P2022|==21006,故答案为21006.16.(2022·北京房山期末统考)2022年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内植树,第一棵树在A1(0,1)点,第二棵树在B1(1,1)点,第三棵树在C1(1,0)点,第四棵树在C2(2,0)点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一棵树,那么,第2022棵树所在的点的坐标是________.[答案] (10,44)-10-\n[解析] 设OA1B1C1为第一个正方形,种植3棵树,依次下去,第二个正方形种植5棵树,第三个正方形种植7棵树,……它们构成一个等差数列,首项为3,公差为2,所以前n项和为Sn=3n+×2=n2+2n.因为S43=1935,S44=2024,所以第2022棵树应在第44个正方形的边上.由题意,第44个正方形,先从点(44,0)出发,向上种44棵树,到点(44,44),然后向左再种植35棵树,到点(10,44).此时共种植1935+44+35=2022棵树.三、解答题17.(2022·天津和平区一模)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=p(Sn-an)+(p为大于0的常数),且2a1是10a3与3a2的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an·bn=2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)当n=1时,S1=p(S1-a1)+,故a1=.当n≥2时,Sn=p(Sn-an)+,①Sn-1=p(Sn-1-an-1)+②由①-②,得an=pan-1,即=p(p>0).故{an}是首项为,公比为p的等比数列,即an=pn-1.由题意,得10a3+3a2=2(2a1),即5p2+p=2.解得p=或p=-(舍去).∴an=·()n-1=.(2)由(1),得bn==(2n+1)·2n,则有Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n,2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,两式相减,得-Tn=3×2+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1=6+2×-(2n+1)×2n+1=-2-(2n-1)×2n+1.∴Tn=2+(2n-1)·2n+1.18.(文)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*.(1)求f(x)的解析式;(2)若数列{an}满足=f′(),且a1=4,求数列{an}的通项公式;-10-\n(3)记bn=,数列{bn}的前n项和Tn,求证:≤Tn<2.[解析] (1)由题意及f′(x)=2ax+b得解之得即f(x)=x2+2nx(n∈N*).(2)由条件得=+2n,∴-=2n,累加得-=2+4+6+…+2(n-1)==n2-n,∴=(n-)2,所以an==(n∈N*).(3)bn===2(-),则Tn=b1+b2+…+bn=++…+=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2(1-)<2.∵2n+1≥3,故2(1-)≥,∴≤Tn<2.(理)(2022·武汉市部分中学联考)在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)若存在n∈N*,使得an≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值.[解析] (1)令bn=nan,{bn}的前n项和为Sn,则Sn=bn+1,∴Sn-1=bn(n≥2),两式相减得=3,又b1=a1=1,在条件式中令n=1,2得a2=1,a3=2,∴b2=2a2=2,∴bn=b2×3n-2=2×3n-2.∴an=(2)an≤(n+1)λ⇔λ≥,-10-\n由(1)可知当n≥2时,=,设f(n)=(n≥2,n∈N*),则f(n+1)-f(n)=<0,∴>(n≥2),又=及=,所以所求实数λ的最小值为.-10-
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