【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第2节 圆的方程（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第2节圆的方程新人教B版一、选择题1．(文)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)A．x2＋(y－2)2＝1　　B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案]　A[解析]　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(理)对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为(　　)A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0[答案]　C[解析]　直线方程可化为(x＋1)a－x－y＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即为x2＋y2＋2x－4y＝0.2．(2022·广东广州综合测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1[答案]　A[解析]　圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为(1,2)，此点关于直线y＝x的对称点的坐标为(2,1)，由于两圆关于直线y＝x对称，故它们的圆心关于直线y＝x对称，且两圆大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为(2,1)，其半径为1，方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为(　　)A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案]　A[解析]　动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.4．(文)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝(　　)A.　B．　　　C.　D．5-9-\n[答案]　B[解析]　圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝，∴a＋b＝＋＝(r为圆的半径)．(理)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)A．(x－1)2＋(y－3)2＝()2B．(x－3)2＋(y－1)2＝()2C．(x－2)2＋(y－)2＝9D．(x－)2＋(y－)2＝9[答案]　C[解析]　设圆心坐标为(a，)(a>0)，则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝(a＋＋1)≥(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．此时圆心坐标为(2，)，半径为3，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝9.5．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)A．9B．14C．14－6D．14＋6[答案]　D[解析]　方程表示以(－2,1)为圆心，半径r＝3的圆，令d＝，则d为点(x，y)到(0,0)的距离，∴dmax＝＋r＝＋3，∴x2＋y2的最大值为(＋3)2＝14＋6.6．(文)若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)A．1B．5C．4D．3＋2[答案]　D[解析]　由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，-9-\n等号在＝，即b＝2－，a＝－1时成立．(理)(2022·广州调研)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)A．(－∞，]B．(0，]C．(－，0)D．(－∞，)[答案]　A[解析]　由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤()2＝.二、填空题7．(2022·重庆文)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．[答案]　0或6[解析]　圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.8．(2022·嘉峪关市一中三模)圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，当弦AB被P0平分时，直线AB的方程为________．[答案]　x－2y＋5＝0[解析]　∵kOP0＝－2，∴kAB＝，∴AB：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.9．(文)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．[答案]　(x－1)2＋2＝1[解析]　设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝＝＝，即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.(理)由动点M向⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1引两条切线MA、MB，切点为A、B，若MA⊥MB，则动点M的轨迹方程为________．[答案]　(x－2)2＋(y－3)2＝2-9-\n[解析]　已知圆的圆心C(2,3)与点M、A构成Rt△MAC，由条件MA⊥MB知，∠AMC＝45°，从而|MC|2＝|MA|2＋|AC|2＝2，故点M的轨迹是以C(2,3)为圆心、半径为的圆，方程为(x－2)2＋(y－3)2＝2.三、解答题10．(文)(2022·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．[解析]　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得C＝±1.∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.(理)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.[解析]　(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，＝1，∴k＝.∴直线方程为x＝3或y＝x＋.(2)|AO|＝＝，直线OA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，S＝·d·|AO|＝.一、选择题11．(文)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0[答案]　B[解析]　设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，-9-\n∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.(理)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　)A．(x－)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5[答案]　D[解析]　考查了圆的标准方程及点到直线的距离．设圆心为(a,0)，由题意r＝＝，∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.12．(2022·辽宁沈阳四校联考)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是(　　)A．3－B．4C．3＋D．6[答案]　C[解析]　依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，∴△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，故选C.13．(2022·陕西质检)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)A．10B．20C．30D．40[答案]　B[解析]　圆的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴半径r＝5，圆心到最短弦BD的距离d＝1，∴最短弦长|BD|＝4，又最长弦长|AC|＝2r＝10，∴四边形的面积S＝×|AC|×|BD|＝20.14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y－)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是(　　)A．P在⊙C内B．P在⊙C上C．P在⊙C外D．无法确定[答案]　C-9-\n[解析]　由条件得，解之得∵(－－2)2＋(－－)2>1，∴点P在⊙C外．二、填空题15．(文)(2022·福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆心为C的圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B两点，则·的值为________．[答案]　0[解析]　依题意得，点C的坐标为(3,3)．由，解得或可令A(3,5)、B(1,3)，∴＝(0,2)，＝(－2,0)，∴·＝0.(理)(2022·新课标全国Ⅱ理)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．[答案]　[－1,1][解析]　当x0＝0时，点N显然存在，当x0≠0时，在坐标系中画出圆O和直线l：y＝1，其中M(x0,1)在直线上，设l与y轴交点为A，过M作⊙O的切线MB，切点为B，则∠OMB＝∠OMA；当x0＝1时，点M在P处，∠OPB＝45°，点M在M1处时，0<x0<1，∠OM1B1>45°，点M在M2处时，x0>1，∠OM2B2<45°.因此，当0<x0≤1时，在⊙O上存在点N，使∠OMN＝45°，由对称性知，当－1≤x0≤1时，点N存在，∴－1≤x0≤1.16．(2022·上海崇明二模)已知圆O：x2＋y2＝c(0<c≤1)，点P(a，b)是该圆面(包括⊙O圆周及内部)上一点，则a＋b＋c的最小值等于________．[答案]　－[解析]　依题意可得a2＋b2≤c.令z＝a＋b＋c.所以a，b的关系如图所示．所以目标函数b＝－a＋z－c.所以当直线a＋b＋c＝z与圆相切且在圆下方时z最小．由圆心到直线的距离可得，z＝c－c＝(－)2－.所以当且仅当c＝时，zmin＝－.-9-\n[点评]　一、数形结合思想在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆的几何性质，用数形结合的方法求解．1．圆上点到定点P的距离的最大(小)值：连结圆心C与P交圆于两点为最大(小)值点．(1)点P在⊙C内，过点P的⊙C的弦中，最长的为EF(过圆心)，最短的为AB(AB⊥EF)，在⊙C上所有点中，点E到点P距离最小，点F到点P距离最大．(2)点P在⊙C外，PC与圆交于E、F，圆上所有点中到点P距离最大(小)的点为F(E)，过点P可作两条直线PA、PB与⊙C相切，则PC为∠APB的平分线，PC垂直平分AB.2．圆上的点到定直线的距离最值：由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点．直线l与⊙C外离，PC⊥l交⊙C于A、B，则在⊙C上到直线l距离最大(小)的点为B(A)．二、等价转化思想已知点P(x，y)为圆上动点(1)形如的最值转化为动直线的斜率求解，一般在相切位置取最值．(2)形如ax＋by的最值，一般设u＝ax＋by，转化为动直线的截距问题．用判别式法求解，或在相切位置取最值．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x－a)2＋(y－b)2＝k2，转化为两圆有公共点时，k的取值范围问题．三、解答题17．(文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；-9-\n(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，∵直线y＝x与圆C相切于原点O.∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有⇒或由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0.∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x＝或x＝0(舍去)．所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．(理)(2022·江苏盐城二模)已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．[分析]　(1)由于⊙C过原点O，OC为圆的半径，据此可得出圆的方程，求出⊙C与两轴交点坐标，验证|OA|·|OB|为定值．(2)由条件易知OC垂直平分MN，求出t的值即可确定圆的方程．[解析]　(1)证明：∵圆C过原点O，∴|OC|2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心O的坐标为(2,1)，OC＝，此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>-9-\n.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.-9-