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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第3节 直线、圆与圆的位置关系(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第3节直线、圆与圆的位置关系新人教B版一、选择题1.(2022·成都外国语学校月考)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1[答案] B[解析] C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y-1=0对称的点(2,-2)为圆心,半径为1,所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.2.(文)(2022·安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l的方程为ax+y-1=0,则直线l与圆C的位置关系是(  )A.相离B.相交C.相切D.相切或相交[答案] D[解析] 圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,直线l过定点(0,1),易知点(0,1)在⊙C上,所以直线与圆相切或相交,故选D.(理)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(  )A.相交 B.相切  C.相离  D.不确定[答案] A[解析] 解法一:圆心(0,1)到直线的距离d=<1<,故选A.解法二:直线mx-y+1-m=0过定点(1,1),又因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆C是相交的,故选A.3.(2022·乌鲁木齐三诊)在圆x2+y2+2x-4y=0内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是(  )A.B.C.D.[答案] B[解析] 圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为-1,且最长弦与最短弦垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1,倾斜角是.[点评] 直线与圆位置关系的常见题型:(1)直线与圆公共点个数的判断(2022·吉林期末)已知曲线C:x2+y2-2x+2y=0与直线l:y+2=k(x-2),则C与l的公共点(  )A.有2个B.最多1个-11-\nC.最少1个D.不存在[答案] C[解析] 圆心C(1,-1)到直线l的距离d==,d2==1+≤2,∴d≤,∴⊙C与l相切或相交.(2)直线与圆相切,求参数值(2022·广东清远调研)若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切,则k的值是(  )A.2B.C.±2D.±[答案] C[解析] 由题意知=1,∴k=±2.(3)判断直线与圆的位置关系圆x2+y2-2x+4y-4=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(  )A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能[答案] C[解析] ∵直线2t(x-1)-(y+2)=0过圆心(1,-2),∴直线与圆相交.(4)由直线与圆相交、相切提供条件,求解其他有关问题.(2022·山东济南期末)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________.[答案] m+n≥2+2[解析] 因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以=1,即|m+n|=.两边平方并整理得mn=m+n+1.由基本不等式得m+n+1≤()2,∴(m+n)2-4(m+n)-4≥0,解得m+n≥2+2.4.(2022·重庆南开中学月考)已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取得最小值时,过点P(x,y)引圆(x-)2+(y+)2=的切线,则此切线的长度为(  )A.B.C.D.[答案] A-11-\n[解析] 2x+4y≥2=2=4,当且仅当2x=4y=2,即x=2y=时取等号,所以P(,),所以切线长l==.故选A.5.(2022·山东潍坊一中月考)在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是(  )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线[答案] A[解析] 设C(x,y),因为=λ1+λ2,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即解得又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y-5=0,所以点C的轨迹为直线,故选A.6.(文)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为(  )A.6B.C.8D.[答案] B[解析] 记圆心为C,则由题意得|AB|=5,直线AB:+=1,即3x-4y-12=0,圆心C(0,1)到直线AB的距离为,点P到直线AB的距离h的最小值是-1=,△ABP的面积等于|AB|h=h≥×=,即△ABP的面积的最小值是,选B.(理)(2022·广东揭阳一模)设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为(  )A.-2B.C.-2D.-2[答案] C[解析] 将等式y=-两边平方,得y2=4-(x-1)2,即(x-1)2+y2=4.由于y=-≤0,故函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4的下半圆,如图所示.设点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0.因此点Q是直线x-2y-6=0上的动点,如图所示.由于圆(x-1)2+y2=4的圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-11-\n-2.故选C.[点评] 数形结合的思想在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的讨论中,结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程,迅速找到解题的途径,故应加强数形结合思想的应用.二、填空题7.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,O为原点,且·=2,则实数a的值等于________.[答案] ±[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算.设、的夹角为θ,则·=R2·cosθ=4cosθ=2,∴cosθ=,∴θ=,则弦AB的长|AB|=2,弦心距为,由圆心(0,0)到直线的距离公式有:=,解之得a=±.8.(文)(2022·浙江宁波期末)过点O(0,0)作直线与圆C:(x-4)2+(y-8)2=169相交,在弦长均为整数的所有直线中,等可能地任取一条直线,则弦长不超过14的概率为________.[答案] [解析] 已知圆C的半径为13,C(4,8),∵|CO|==12<13,∴O点在圆C的内部,且圆心到直线的距离d∈[0,12],∴直线截圆所得的弦长|AB|=2∈[10,26],其中最短和最长的弦各有一条,长为11到25的整数的弦各有两条,共有32条,其中弦长不超过14的有1+8=9(条),∴所求概率P=.(理)(2022·大纲全国理)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.[答案] [解析] 设l1、l2与⊙O分别相切于B、C,A(1,3),则∠OAB=∠OAC,|OA|=,圆半径为,∴|AB|==2,∴tan∠OAB==,∴所夹角的正切值-11-\ntan∠CAB===.9.(文)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.[答案] (x-2)2+(y-2)2=2[解析] ∵⊙A:(x-6)2+(y-6)2=18的圆心A(6,6),半径r1=3,∵A到l的距离5,∴所求圆B的直径2r2=2,即r2=.设B(m,n),则由BA⊥l得=1,又∵B到l距离为,∴=,解出m=2,n=2.(理)(2022·江苏南京调研)已知圆O的方程为x2+y2=2,圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=1,过圆M上任一点P作圆O的切线PA,若直线PA与圆M的另一个交点为Q,则当弦PQ的长度最大时,直线PA的斜率是________.[答案] 1或-7[解析] 由圆的性质易知,当切线过圆M的圆心(1,3)时,|PQ|取最大值,这个最大值即为圆M的直径,设此直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0(k显然存在).由=得k=1或-7.三、解答题10.(文)(2022·江苏镇江模拟)如图,A、B是圆O:x2+y2=4与x轴的两个交点,C是圆O上异于点A、B的任意一点,直线l是圆O的过点C的切线,过点B作直线l的垂线BP,BP与AC的延长线交于点P,求点P的轨迹方程.[解析] 设P、C的坐标分别是P(x,y),C(x0,y0),因点C与A、B不重合,故y0≠0.因为直线l是圆O过点C的切线,所以直线l的方程为:x0x+y0y=4.又直线BP与直线l垂直,所以直线BP的方程为:y0x-x0y-2y0=0①,直线AC的方程为:y0x-(x0+2)y+2y0=0②,点P是直线BP与AC的交点,联立①②解得:③因为点C是圆O上的点,所以x+y=4,将③代入得:()2+()2=4,所以点P的轨迹方程为:(x-2)2+y2=16(y≠0).[解法探究] 注意到l为⊙O的切线,可得OC⊥l,又PB⊥l,因此OC∥PB,∵O为AB的中点,∴C为PA的中点,从而C(,),由C在圆x2+y2=4上,代入可得+=4,即(x-2)2+y2=16(y≠0).-11-\n(理)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.[分析] 由于直线l不过原点,在两轴上截距相等,可设直线l的方程为+=1,再利用圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问,对于第(2)问要注意|PM|2=|PC|2-r2的应用.[解析] (1)由圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,得圆心坐标C(-1,2),半径r=,∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴设直线l的方程为x+y=a(a≠0).∵直线l与圆C相切,∴=,∴a=-1,或a=3.所以所求直线l的方程为x+y+1=0,或x+y-3=0.(2)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y),又∵|PM2|=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|,∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,∴2x-4y+3=0.所以所求点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.一、选择题11.(文)(2022·安徽名校联考)已知圆C:x2+(y+1)2=4,过点M(-1,-1)的直线l交圆C于点A,B,当∠ACB最小时,直线l的倾斜角为(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] 由题意得,点M在圆内,圆心角∠ACB最小时,所对劣弧最小,从而弦AB也最小.易知当直线AB⊥CM时,弦AB最小,又直线CM∥x轴,故直线AB∥y轴,此时直线的倾斜角为.(理)已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为(  )A.y=-xB.y=xC.y=-xD.y=x[答案] C[解析] 由题易知,圆的方程为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),半径为1,如图,经过原点的圆的切线,当切点在第四象限时,切线的倾斜角为150°,切线的斜率为tan150°=--11-\n,故直线l的方程为y=-x,选C.12.(2022·北京朝阳一模)直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,且||≥|+|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是(  )A.(-2,-]∪[,2)B.(-4,-2]∪[2,4)C.[-2,2]D.[-2,2][答案] D[解析] 设MN的中点为D,则+=2,||≥2||,由||2+||2=16,得16=||2+||2≥||2+(2||)2=4||2,从而||≤2,由点到直线的距离公式可得||=≤2,解得-2≤m≤2.13.(2022·浙江温州十校期末)已知直线+=1(a,b是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有(  )A.52条B.60条C.66条D.78条[答案] B[解析] 圆x2+y2=100上有12个横坐标和纵坐标均为整数的点(这些点的横坐标为±10,±8,±6,0),过每两点作直线可作66条,其中过原点的直线有6条,因此满足题意的直线共有66-6=60(条).14.(文)(2022·天津六校联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为(  )A.2B.C.D.3[答案] B[解析] 由题意得圆C的圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离小于等于2,即≤2,整理得3k2-4k≤0,∴0≤k≤,故k的最大值为.(理)若关于x、y的方程组有解,且所有的解都是整数,则有序数对(a,b)所对应的点的个数为(  )-11-\nA.24  B.28   C.32   D.36[答案] C[解析] x2+y2=10的整数解为:(1,3),(3,1),(1,-3),(-3,1),(-1,3),(3,-1),(-1,-3),(-3,-1),所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条,过这八个点的切线有8条,每条直线确定了唯一的有序数对(a,b),所以有序数对(a,b)所对应的点的个数为32.二、填空题15.(文)(2022·江西联考)如图,已知长度为2的线段AB的两个端点在动圆O的圆周上运动,O为圆心,则·=________.[答案] 2[解析] 取AB的中点C,连接OC,则OC⊥AB,=+=+,所以·=·(+)=2=2.(理)(2022·山东济南一模)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=________.[答案] 或-[解析] ∵·=0,∴OM⊥CM,∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,由=,得k=±,即=±.16.(2022·惠州调研)已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为________.[答案] (3-2)π[解析] 因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圆心O到直线的距离为=,所以a2=1-b2≥0,即-≤b≤.设圆M的半径为r,则r=|PM|===(2-b),又-≤b≤,所以+1≥|PM|≥-1,所以圆M的面积的最小值为(3-2)π.三、解答题17.(文)已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1,0)与圆C相交于P、Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.-11-\n(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;(2)当PQ=2时,求直线l的方程;(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.[解析] (1)证明:因为l与m垂直,且km=-,kl=3,故直线l:y=3(x+1),即3x-y+3=0.显然圆心(0,3)在直线l上,即当l与m垂直时,l必过圆心.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,因为PQ=2,所以CM==1,则由CM==1,得k=.所以直线l:4x-3y+4=0.从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3)因为CM⊥MN,所以·=(+)·=·+·=·.①当l与x轴垂直时,易得N(-1,-),则=(0,-),又=(1,3),所以·=·=-5.②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由,得N,则=.所以·=·=-5.综上,·与直线l的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且·=-5.(理)(2022·西宁检测)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.[分析] (1)设出点P的坐标,由|PA|=2|PB|写出方程,化简即可;-11-\n(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M,故l2与C相切,当|QC|取最小值时,|QM|取到最小值,故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求.[解析] (1)设点P的坐标为(x,y),则=2,化得可得(x-5)2+y2=16即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图.由题意知直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|==,当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,此时|QM|的最小值为=4.18.(文)(2022·太原一模)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.[解析] 依题意,设l的方程为y=x+b,①又⊙C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0,②联立①②消去y得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有③∵以AB为直径的圆过原点,∴⊥,即x1x2+y1y2=0,而y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2,∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,由③得b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,即b2+3b-4=0,∴b=1或b=-4,∴满足条件的直线l存在,其方程为x-y+1=0或x-y-4=0.(理)(2022·北京昌平期末)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.-11-\n(1)求圆A的方程;(2)当MN=2时,求直线l的方程;(3)·是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.[解析] (1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R==2.∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,则AQ⊥MN.∵MN=2,∴AQ==1,则由AQ==1,得k=.∴直线l:3x-4y+6=0.故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)∵AQ⊥BP,∴·=(+)·=·+·=·.①当l与x轴垂直时,易得P(-2,-),则=(0,-).又=(1,2),∴·=·=-5.②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2),则由得P(,),则=(,).∴·=·=+=-5.综上所述,·是定值,且·=-5.-11-

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文章作者:U-336598

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