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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系北师大版一、选择题1.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是( )A.3x+4y-1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y-1=0或3x+4y+9=0[答案] D[解析] 设直线l1的方程为3x+4y+m=0.∵直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,∴=1.∴|m-4|=5.∴m=-1或m=9.∴直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.2.(文)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离[答案] B[解析] 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d==<.且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心.(理)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式.圆心C(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=≤1<.所以直线与圆相交,故选C.3.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B-8-\n两点,则弦AB的长等于( )A.3B.2C.D.1【答案】 B【解析】 本题考查了直线与圆位置关系处理方法,弦长等知识,如图所示.设AB的中点为D,则OD⊥AB,由点到直线距离公式得|OD|==1.∴AD2=OA2-OD2=4-1=3,∴|AD|=,∴弦长|AB|=2.4.(2022·湖南高考)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )A.21B.19C.9D.-11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系.由条件知C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心与半径分别为(0,0),(3,4),r1=1,r2=,由两圆外切的性质知,5=1+,∴m=9.5.过圆x2+y2=4外一点P(4,2),作圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则△PAB的外接圆的方程为( )A.(x-4)2+(y-2)2=1B.x2+(y-2)2=4C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x-2)2+(y-1)2=5[答案] D[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上,故圆心为(2,1),半径为r=,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.6.在直线y=2x+1上有一点P,过点P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线与圆x2+y2-2x=0有公共点,则点P的横坐标取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.[-,-]D.(-,-)[答案] C-8-\n[解析] 过点P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线的斜率是k=,设点P(x0,2x0+1),其方程是y-2x0-1=(x-x0),由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可解得.二、填空题7.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得弦长为________.[答案] 2[解析] 本题考查直线与圆的知识,画出示意图,构造直角三角形求解.由C(0,2)及直线y=x知,CE==,而CO=2,则OE==,∴弦长为2.8.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.[答案] 2[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想.点(3,1)在圆内,要使弦长最短,须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直,此时|CN|=,则弦长为2=2.9.(文)(2022·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________.[答案] (x-2)2+(y-1)2=4[解析] 本题考查圆的标准方程的求法,结合图形.∵圆心在x-2y=0上,设圆心(2b,b),由圆与y轴相切,∴r=2|b|-8-\n又截x轴弦长2,圆心到x轴距离d=|b|∴在Rt△CAB中,r2=4b2=b2+()2,∴b2=1又圆C与y轴正半轴相切.故b>0,∴b=1.∴方程为(x-2)2+(y-1)2=4.(理)(2022·湖北高考)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.[答案] 2[解析] 本题考查直线与圆的位置关系.依题意,圆心O(0,0)到两直线l1:y=x+a,l2:y=x+b的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即==1×sin45°=,得|a|=|b|=1.故a2+b2=2.三、解答题10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.[解析] (1)由圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,得圆心坐标C(-1,2),半径r=,∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零.设直线l的方程为x+y=a,∵直线l与圆C相切,∴=,∴a=-1或a=3.∴所求直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y),又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|,∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,∴2x-4y+3=0,∴所求点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.一、选择题1.设A为圆(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P-8-\n点的轨迹方程为( )A.(x+1)2+y2=25 B.(x+1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=25D.(x-1)2+y2=5[答案] B[解析] 圆心C(-1,0),在Rt△ACP中,CP===.设P(x,y),则|CP|=,所以(x+1)2+y2=5,选B.2.(2022·福建高考)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l:kx-y+1=0的距离d=,弦长为|AB|=2=,∴S△OAB=×|AB|·d==,∴k=±1,因此当“k=1”时,“S△OAB=”,故充分性成立.“S△OAB=”时,k也有可能为-1,∴必要性不成立,故选A.二、填空题3.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.[答案] [解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力.由题意知切线的斜率存在,设为k,切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由点到直线的距离公式,得=,解得k=-,∴切线方程为-x-y+=0,-8-\n令x=0,y=,令y=0,x=5,∴三角形面积为S=××5=.4.圆心在直线x+y=0上,且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为________.[答案] x2+y2+6x-6y+8=0[解析] 设圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0,即x2+y2+x+y-=0(λ≠-1),圆心,∴-=0,解得λ=-2.故所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24-2(x2+y2+2x+2y-8)=0,即x2+y2+6x-6y+8=0.三、解答题5.已知点P(0,5)及圆Cx2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.[分析] (1)根据弦长求法,求直线方程中的参数;(2)由垂直关系找等量关系.[解析] (1)解法1:x2+y2-4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=42,∴圆C的圆心为C(-2,6),半径为4,如图所示,AB=4,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2,AC=4,在Rt△ACD中,可得CD=2.当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:=2,得k=.k=时,直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.解法2:当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y-8-\n=kx+5,联立直线与圆的方程消去y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0,①设方程①的两根为x1,x2,由根与系数的关系得②由弦长公式得|x1-x2|==4,将②式代入,解得k=,此时直线方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0,(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.6.(2022·徐州月考)已知数列{an},圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.[解析] (1)证明:由已知,圆C1的圆心坐标为(an,-an+1),半径为r1=,圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=2.又圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长,∴|C1C2|2+r=r,∴(an+1)2+(-an+1+1)2+4=a+a+1,∴an+1-an=,∴数列{an}是等差数列.(2)∵a1=-3,∴an=n-,则r1===.-8-\n∵n∈N*,∴当n=2时,r1可取得最小值,此时,圆C1的方程是:x2+y2+x+4y-1=0.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:31
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文章作者:U-336598
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