【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第1节直线的方程与两条直线的位置关系新人教B版一、选择题31.(2022·龙岩月考)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.则直线l的方程为()4A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0[答案]A3[解析]由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.43π2.(文)(2022·宁都模拟)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=()4A.-1B.-3C.0D.2[答案]B2y+1--32y+4[解析]由==y+2,4-223π得:y+2=tan=-1,∴y=-3.4(理)(2022·天津模拟)直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是()πA.(0,)B.(0,π)2πππ3πC.[-,]D.[0,]∪[,π)4444[答案]D[解析]直线x·sinα-y+1=0的斜率是k=sinα,又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,π当0≤k≤1时,倾斜角的范围是[0,];43π当-1≤k<0时,倾斜角的范围是[,π).43.设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长,则直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直[答案]CsinAb[解析]由已知得a≠0,sinB≠0,所以两直线的斜率分别为k1=-,k2=,由正弦定理asinBsinAb得:k1·k2=-·=-1,所以两条直线垂直,故选C.asinB-1-\n4.(2022·浙江六校联考)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()11A.k=,b=4B.k=-,b=42211C.k=,b=-4D.k=-,b=-422[答案]C[解析]直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,即2×2+b=0,∴b=-4.又直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,∴1k·(-2)=-1,即k=.2xyxy5.(文)两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是()abba[答案]A[解析]直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数,直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数,故选A.[点评]可用斜率关系判断,也可取特值检验.(理)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有4个不同的交点,则实数m的取值范围是()3333A.(-,)B.(-,0)∪(0,)33333333C.[-,]D.(-∞,-)∪(,+∞)3333[答案]B[解析]曲线C1:(x-1)2+y2=1,图形为圆心为(1,0),半径为1的圆;曲线C2:y=0或者y-mx-m=0,直线y-mx-m=0恒过定点(-1,0),即曲线C2图象为x轴与恒过定点(-1,0)的两条直-2-\n线.33作图分析:k1=tan30°=,k2=-tan30°=-,3333又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点,结合图形可知m=k∈(-,0)∪(0,).3336.(文)已知a、b为正数,且直线(a+1)x+2y-1=0与直线3x+(b-2)y+2=0互相垂直,则a2+的最小值为()b13A.12B.6C.1D.25[答案]D[解析]∵两直线互相垂直,∴3(a+1)+2(b-2)=0,∴3a+2b=1,∵a、b>0,3232∴+=(+)(3a+2b)abab6b6a6b6a=13++≥13+2·abab=25.6b6a=ab1等号成立时,,∴a=b=,53a+2b=132故+的最小值为25.ab(理)(2022·厦门双十中学期中)已知直线l:xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2,在y轴上的截距为1,则tan(α+β)=()77A.-B.335C.D.17[答案]D1[解析]由条件知tanα=2,-3tanβ=1,∴tanβ=-,312+-tanα+tanβ3∴tan(α+β)===1,故选D.1-tanα·tanβ11-2×-3二、填空题7.(2022·长春模拟)若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.[答案]4[解析]∵A,B,C三点共线,-3-\na-35-3∴=,5-46-4∴a=4.158.(文)(2022·山东青岛一模)曲线y=x3-2以点(1,-)为切点的切线的倾斜角为________.33[答案]45°[解析]y′=x2,k=y′|x=1=1,切线的倾斜角为45°.(理)(2022·江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是________.[答案]3x+y-3-1=0[解析]直线OA的方程为y=x,代入半圆方程得A(1,1),∴H(1,0).直线HB的方程为y=x-1,1+3-1+3y-1x-1代入半圆方程得B(,).所以,直线AB的方程为=,即3x22-1+31+3-1-122+y-3-1=0.9.(2022·佛山市检测)已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.1[答案]2x[解析]直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1),由2动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,由ab=(2-2b)b=-11112b2+2b=-2(b-)2+,由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.2222三、解答题10.(文)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的值,使(1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.m2-8+n=0,[解析](1)由题意得2m-m-1=0,n=7,解得m=1,∴当m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(1,-1).m8n(2)l1∥l2⇔=≠,2m-1得:m=4,n≠-2,或m=-4,n≠2.(3)l1⊥l2⇔m×2+8×m=0,∴m=0,则l1:8y+n=0.又l1在y轴上的截距为-1,则n=8.综上知m=0,n=8.[点评]讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况.处理l1⊥l2时,利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可避免对斜率存在是否的讨论.-4-\n(理)过点A(3,-1)作直线l交x轴于点B,交直线l1:y=2x于点C,若|BC|=2|AB|,求直线l的方程.[解析]当k不存在时B(3,0),C(3,6).此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,∴直线l的斜率存在,∴设直线l的方程为:y+1=k(x-3),1令y=0得B(3+,0),ky=2x1+3k由得C点横坐标xc=.y+1=kx-3k-2若|BC|=2|AB|则|xB-xC|=2|xA-xB|,1+3k11∴|--3|=2||,k-2kk1+3k121+3k12∴--3=或--3=-,k-2kkk-2kk31解得k=-或k=.24∴所求直线l的方程为:3x+2y-7=0或x-4y-7=0.一、选择题11.(文)(2022·福建文)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0[答案]D[解析]圆心(0,3),又知所求直线斜率为1,∴直线方程为x-y+3=0.(理)(2022·开封摸底)直线2x+my=2m-4与直线mx+2y=m-2垂直的充要条件是()A.m=2B.m=-2C.m=0D.m∈R[答案]C[解析]由题意得,2m+2m=0,得m=0.故选C.12.(文)(2022·广东)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0[答案]A|m|[解析]设直线方程为x+y+m=0,直线与圆相切,则=1,m=-2或m=2(由直线与2-5-\n圆的切点在第一象限知不合题意,故舍去),所以选A.(理)若直线(m2-1)x-y-2m+1=0不经过第一象限,则实数m的取值范围是()11A.<m<1B.-1<m≤2211C.-≤m<1D.≤m≤122[答案]D[解析]若直线(m2-1)x-y-2m+1=0不经过第一象限,则直线过二、三、四象限,则斜率m2-1≤0,1和截距均小于等于0.直线变形为y=(m2-1)x-2m+1,则⇒≤m≤1,故选D.-2m+1≤0,2-2m+1<0,2m-1[点评](1)令x=0得y=-2m+1,令y=0得,x=,则2m-1或m2-1<0,m2-1-2m+1=0,也可获解.m2-1≤0,(2)取特值m=0,1,检验亦可获解.13.(2022·河南安阳一模)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=0[答案]A5[解析]设AC的中点为O,则O(,-2).2设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),x0=5-x,即D(x0,y0),则y0=-4-y,由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.114.若三直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky+k+=0相交于一点,则k的值为()21A.-2B.-21C.2D.2[答案]Bx-y-1=0[解析]由得交点P(-1,-2),2x+3y+8=011P在直线x+ky+k+=0上,∴k=-.22二、填空题15.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则l1与l2的距离为________.55[答案]或210-6-\n[解析]由(k-3)×(-2)-2(k-3)×(4-k)=0,且-2×1-(4-k)×3≠0,∴k=3或5.5当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,此时l1与l2距离为:;2|3-2|5当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,此时l1与l2的距离为=.42+-22101116.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则+=________.ab1[答案]2xy[解析]设直线方程为+=1,因为A(2,2)在直线上,ab22111所以+=1,即+=.abab2三、解答题17.(文)(2022·江苏扬州一模)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)1作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线2AB的方程.3[解析]由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:33y=-x.3设A(m,m),B(-3n,n),m-3nm+n所以AB的中点C(,),221由点C在直线y=x上,且A、P、B三点共线得,2m+n1m-3n=·,222m=3,m-0n-0解得所以A(3,3).=,n=3-23,m-1-3n-133+3又P(1,0),所以kAB=kAP==,3-123+3所以lAB:y=(x-1),2即直线AB的方程为(3+3)x-2y-3-3=0.(理)(2022·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0)、A2(2,0),再取两个动点N1(0,a),N2(0,b),且ab=3.-7-\n(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;(2)已知点F2(1,0),设直线l:y=kx+m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点,直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β,且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.a[解析](1)依题意知直线A1N1的方程为:y=(x+2),①2b直线A2N2的方程为:y=-(x-2),②2设R(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,①×②得aby2=-(x2-4).4x2y2将ab=3代入整理得+=1.43∵点N1、N2不与原点重合,∴点A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上,x2y2∴轨迹M的方程为+=1(x≠±2).43(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为零,y=kx+m,联立方程x2y2消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设P(x1,y1)、Q(x2,+=1.43y2),则-8kmx1+x2=,3+4k2kx1+mkx2+m4m2-12(*)且kF2P=,kF2Q=.x1x2=,x1-1x2-13+4k2由已知α+β=π,得kF2P+kF2Q=0,kx1+mkx2+m∴+=0,x1-1x2-1化简,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,4m2-128mkm-k将(*)式代入,得2k×--2m=0,3+4k23+4k2整理得m=-4k.∴直线l的方程为y=k(x-4),∴直线l过定点,该定点的坐标为(4,0).x2y2218.(2022·广东揭阳一中期中)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).a2b22(1)求椭圆的方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.c2[解析](1)由题意知c=1,=,∴a=2,∴b2=a2-c2=1,a2x2∴椭圆E的标准方程为+y2=1.2(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),-8-\n①当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1,不符合题意.②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1).x2+y2=1,2由消去y得,[1+2k2]x2-4k2x+2(k2-1)=0,y=kx-1.4k22k2-1∴x1+x2=,x1·x2=.1+2k21+2k2-k2∴y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.1+2k2→→∵OM⊥ON,∴OM·ON=0,k2-2∴x1·x2+y1·y2==0,∴k=±2.1+2k2∴直线l的方程为:y=±2(x-1).-9-
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