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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)北师大版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程北师大版一、选择题1.已知A(3,1),B(-1,k),C(8,11)三点共线,则k的取值是(  )A.-6B.-7C.-8D.-9[答案] B[解析] ∵A,B,C三点共线,∴=.∴k=-7.2.(文)如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析] 由A·C<0及B·C<0,可知A≠0,B≠0,又直线Ax+By+C=0过(-,0),(0,-),且->0,->0,∴直线不过第三象限.(理)光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为(  )A.y=3x-3B.y=-3x+3C.y=-3x-3D.y=3x+3[答案] B[解析] 点M关于x轴的对称点M′(2,-3),则反射光线即在直线NM′上,由=,得y=-3x+3.3.(2022·佛山检测)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(  )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1[答案] D-7-\n[解析] 由题意得a+2=,解得a=-2或a=1.4.过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为(  )A.3x-5y+10=0B.3x-4y+8=0C.3x+4y+10=0D.3x-4y+8=0或3x+4y-8=0[答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α,则sinα=,∴tanα=±,∴所求直线方程为y=±x+2,即为3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(  )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0[答案] A[解析] 易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.6.(文)已知直线PQ的斜率为-,将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是(  )A.0B.C.D.-[答案] C[解析] kPQ=-得直线PQ的倾斜角为120°,将直线PQ绕点P-7-\n顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°,∴所得直线的斜率k=tan60°=.(理)点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则的取值范围是(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] 令k=,则k可以看成过点D(1,2)和点P(x,y)的直线斜率,显然kDA是最小值,kBD是最大值.由于不包含边界,所以k∈.二、填空题7.若经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.[答案] (-2,1)[解析] ∵直线的斜率k=,且直线的倾斜角为钝角,∴<0,解得-2<a<1.8.直线ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角α为________.[答案] 135°[解析] ∵ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),∴a+m-2a=0.∴m=A.直线方程为ax+ay-2a=0,又m=a≠0,∴直线方程即为x+y-2=0.∴斜率k=-1,∴倾斜角α=135°.9.一条直线l过点P(1,4),分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点,O为原点,则△AOB的面积最小时直线l的方程为________.[答案] 4x+y-8=0[解析] 设l:+=1(a,b>0).-7-\n因为点P(1,4)在l上,所以+=1.由1=+≥2⇒ab≥16,所以S△AOB=ab≥8.当==,即a=2,b=8时取等号.故直线l的方程为4x+y-8=0.三、解答题10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为.[解析] (1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4,由已知,得(3k+4)=±6,解得k1=-或k2=-.故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.一、选择题1.(2022·茂名模拟)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(  )A.B.--7-\nC.-D.[答案] B[解析] 设P(xP,yP),由题意及中点坐标公式,得xP+7=2,解得xP=-5,∴P(-5,1),∴直线l的斜率k==-.2.(文)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的范围是(  )A.[0,π)       B.C.D.∪[答案] C[解析] 当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cosθ≠0时,由直线方程可得斜率k=-.∵cosθ∈[-1,1]且cosθ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈∪.综上知倾斜角的范围是,故选C.(理)(理)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,把直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是(  )A.3x+y-6=0B.3x-y+6=0C.x+y-3=0D.x-3y-2=0[答案] A[解析] 由题意知M(2,0),设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α,β,则β=α+45°且tanα=2,45°<α<90°,tanβ=tan(α+45°)==-3,所以所求直线方程为y-0=-3(x-2),即3x+y-6=0.-7-\n二、填空题3.经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________.[答案] 2x+y+2=0或x+2y-2=0[解析] 设所求直线方程为+=1,由已知可得解得或∴2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.4.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点.下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线[答案] ①③⑤[解析] 对于①,举例:y=x+.故①正确;对于②,举例:y=x-,过整点(1,0),故②不正确;对于③,不妨设两整点(a1,b1),(a2,b2),(b1≠b2),则直线为:y=(x-a1)+b1,只需x-a1为a2-a1的整数倍.即x-a1=k(a2-a1),(k∈Z)就可得另外整点.故③正确.对于④,举例:y=x+,k与b均为有理数,但是直线不过任何整点.故④不正确.三、解答题5.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.[解析] (1)∵l在两坐标轴上的截距相等,∴直线l的斜率存在,a≠-1.令x=0,得y=a-2.令y=0,得x=.-7-\n由a-2=,解得a=2,或a=0.∴所求直线l的方程为3x+y=0,或x+y+2=0.(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2.∵l不经过第二象限,∴∴a≤-1.∴a的取值范围为(-∞,-1].6.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.[解析] (1)直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,令解之得.∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知,直线在x轴上的截距为-(k≠0),在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有或k=0,解之得k≥0.(3)由l的方程得,A(-,0),B(0,1+2k).依题意得,解得k>0.∵S=·|OA|·|OB|=·||·|1+2k|=·=(4k++4)≥(2×2+4)=4,“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,∴Smin=4,此时l:x-2y+4=0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法.-7-

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发布时间:2022-08-26 00:13:33 页数:7
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文章作者:U-336598

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