高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程知能训练轻松闯关文北师大版

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)A．30°　　　　　　　　　B．60°C．150°D．120°解析：选B.直线的斜率为k＝tanα＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.2．(2022·河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)A．y＝x＋2B．y＝x－2C．y＝x＋D．y＝－x＋2解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2，故选A.3．(2022·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)A.B．－C．－D.解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.4．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A．0≤α＜πB．0≤α≤或＜α＜πC．0≤α≤D.≤α＜或＜α＜π解析：选B.直线l的斜率为k＝＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，即tanα＜0或0≤tanα≤1，所以＜α＜π或0≤α≤.故选B.5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，4\n在y轴上的截距＞1.故选C.6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：48．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，则有－>1或－<0，解得－1<a<－或a<－1或a>0.综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．答案：∪(0，＋∞)9．(2022·沈阳质量监测)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1，2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2＝2，所以a＋b≥3＋2.答案：3＋210．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．答案：11．根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．4\n设倾斜角为α，则sinα＝(0≤α＜π)，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.1．已知两点P(a，3)，Q(－1，2)，且实数a∈，则直线PQ的倾斜角α的范围为________．解析：当a＝－1时，直线PQ的方程为x＝－1，此时直线PQ的倾斜角α＝.当a≠－1时，由题意，得直线PQ的斜率为k＝tanα＝.又a∈，所以k∈(－∞，－]∪，所以α∈∪.故直线PQ的倾斜角α的范围为.答案：2．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．解：(1)当直线l经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a＋2＝0，解得a4\n＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.(2)由直线方程可得M，N(0，2＋a)，因为a＞－1，所以S△OMN＝××(2＋a)＝×＝≥×＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.4