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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版
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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.在直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切,则圆O的方程为( )A.x2+y2=4 B.x2+y2=3C.x2+y2=2D.x2+y2=1解析:选A.依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y-4=0的距离,即r==2,得圆O的方程为x2+y2=4.2.(2022·泉州质检)若直线3x-4y=0与圆x2+y2-4x+2y-7=0相交于A,B两点,则弦AB的长为( )A.2B.4C.2D.4解析:选D.圆x2+y2-4x+2y-7=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=12,则圆心为(2,-1),半径r=2,又圆心到直线3x-4y=0的距离d==2,所以弦AB的长为2=2=4.3.(2022·甘肃省诊断考试)已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,b∈R),则两圆的位置关系是( )A.内含B.内切C.相交D.外切解析:选C.由O1:(x-a)2+(y-b)2=4得圆心坐标为(a,b),半径为2;由O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为1,所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|==,因为|2-1|=1<<2+1=3,所以两圆相交,故选C.4.(2022·高考安徽卷)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12解析:选D.法一:由3x+4y=b,得y=-x+,代入x2+y2-2x-2y+1=0,并化简得25x2-2(4+3b)x+b2-8b+16=0,Δ=4(4+3b)2-4×25(b2-8b+16)=0,解得b=2或12.法二:由圆x2+y2-2x-2y+1=0可知圆心坐标为(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或12.5.(2022·唐山模拟)已知圆C:x2+y2=1,点M(t,2),若C上存在两点A,B满足=,则t的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-3,3]C.[-,]D.[-5,5]解析:6\n选C.如图,连接OM交圆于点D.因为=,所以A是MB的中点,因为圆x2+y2=1的直径是2,所以MA=AB≤2.又因为MD≤MA,OD=1,所以OM≤3.即点M到原点的距离小于等于3,所以t2+4≤9,所以-≤t≤.6.(2022·重庆一模)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA的最小长度为2,则k的值为( )A.3B.C.2D.2解析:选D.圆C:x2+y2-2y=0的圆心是(0,1),半径是r=1,因为PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA的最小长度为2,所以圆心到直线kx+y+4=0的距离为,由点到直线的距离公式可得=,因为k>0,所以k=2,故选D.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围为________.解析:设A(a,0),由题意可得A,P,C,Q四点共圆,且AC是该圆的一条直径,记该圆的圆心为D,则圆D的方程为x2+y2-ax-3y=0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦,又圆C的方程为x2+y2-6y+7=0,所以两圆方程相减可得PQ:ax-3y+7=0,则圆心C到直线PQ的距离d=,又a2≥0,所以d∈,所以|PQ|=2∈.答案:8.(2022·云南省统一检测)已知f(x)=x3+ax-2b,如果f(x)的图像在切点P(1,-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b=________.解析:由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3,又因为f′(x)=3x2+a,所以f(x)的图像在点(1,-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,所以=⇒a=-,所以b=,所以3a+2b=-7.答案:-76\n9.(2022·太原模拟)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是________.解析:四边形PACB的面积可表示为S=2××|PA|×1=|PA|=,故当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小.而|PC|的最小值是点C到直线3x+4y+8=0的距离,此时|PC|=3,故Smin=2.答案:210.过直线x+y-2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.解析:因为点P在直线x+y-2=0上,所以可设点P(x0,-x0+2),且其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.由两点间的距离公式得|OP|==2,解得x0=.故点P的坐标是(,).答案:(,)11.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1:x+y-4=0平行;(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;(3)过切点A(4,-1).解:(1)设切线方程为x+y+b=0,则=,所以b=1±2,所以切线方程为x+y+1±2=0.(2)设切线方程为2x+y+m=0,则=,所以m=±5,所以切线方程为2x+y±5=0.(3)因为kAC==,所以过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,所以过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4), 即3x+y-11=0.12.(2022·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1.6\n因为直线l与圆C交于两点,所以<1,解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.1.(2022·南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当S△AOB=1时,直线l的倾斜角为( )A.150°B.135°C.120°D.不存在解析:选A.由y=得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,以为半径的半圆,其图像如图所示.设过点P(2,0)的直线为y=k(x-2),则圆心到此直线的距离d=,弦长|AB|=2=2,所以S△AOB=××2=1,解得k2=,由图可得k=-,故直线l的倾斜角为150°.2.(2022·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=6\nk(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是________.解析:圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4.先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2”.再将“直线上存在点P到圆心的距离为2”转化为“圆心到直线的距离小于等于2”.即≤2,-2≤k≤2.答案:[-2,2]3.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得的弦长的最大值;(2)若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围.解:(1)因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,所以(x+a)2+(y-a)2=4a,所以圆心为C(-a,a),半径为r=2,设直线l被圆C所截得的弦长为2t,当m=4时,直线l:x-y+4=0,圆心C到直线l的距离为d==·|a-2|,则t2=(2)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又0<a≤4,所以当a=3时,直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为2.(2)圆心C到直线l的距离为d==,因为直线l是圆C的切线,所以d=r,即=2,所以m=2a±2,又因为直线l在圆心C的下方,所以m=2a-2=(-1)2-1,因为a∈(0,4],所以m的取值范围是[-1,8-4]. 4.已知曲线C的方程为:ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).(1)判断曲线C的形状;(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+=a2+,可知曲线C是以点为圆心,以为半径的圆.(2)△AOB的面积S为定值.证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),在曲线C方程中令x=0,得y(ay-4)=0,得点B,6\n所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·=4.(定值)(3)因为圆C过坐标原点,且|OM|=|ON|,所以OC⊥MN,所以=,所以a=±2,当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为,圆心到直线l:y=-2x+4的距离d==>,直线l与圆C相离,不合题意舍去,a=2时符合题意.这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:19
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