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高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版选修4_1
高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版选修4_1
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第2讲直线与圆的位置关系1.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连接CF并延长交AB于点E.(1)求证:E是AB的中点;(2)求线段BF的长.解:(1)证明:由题意知,AB与圆D和圆O相切,切点分别为A和B,由切割线定理有:EA2=EF·EC=EB2,所以EA=EB,即E为AB的中点.(2)由BC为圆O的直径,易得BF⊥CE,所以S△BEC=BF·CE=CB·BE,所以=,所以BF=a.2.(2022·高考全国卷Ⅰ)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.解:(1)证明:如图,连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连接OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,即DE是⊙O的切线.(2)设CE=1,AE=x.由已知得AB=2,BE=.由射影定理可得AE2=CE·BE,即x2=,即x4+x2-12=0.解得x=,所以∠ACB=60°.3.(2022·高考湖南卷)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.证明:(1)如图4\n所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.4.(2022·九江统考)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD交⊙O于点E,连接AC、BC、OC、CE,延长AB交CD于F.(1)证明:BC=CE;(2)证明:△BCF∽△EAC.证明:(1)因为CD为⊙O的切线,C为切点,AB为⊙O的直径,所以OC⊥CD,又AD⊥CD,所以OC∥AD,所以∠OCA=∠CAE,又OC=OA,所以∠OAC=∠OCA,所以∠OAC=∠CAE,所以BC=CE.(2)由弦切角定理可知,∠FCB=∠OAC,所以∠FCB=∠CAE,因为四边形ABCE为圆O的内接四边形,所以∠ABC+∠CEA=180°,又∠ABC+∠FBC=180°,所以∠FBC=∠CEA,所以△BCF∽△EAC.1.(2022·西安地区八校联考)如图,圆O为四边形ABCD的外接圆,AB=BD.过点D作圆O的切线交AB延长线于点P,∠PBD的角平分线与DC的延长线交于点E.(1)若AB=3,PD=2,求AD的长;(2)求证:BE2=CE·DE.解:(1)PD为圆O的切线,PA为圆O的割线,故PD2=PB·PA=PB·(PB+BA),所以(2)2=PB(PB+3),PB=4.又∠A=∠BDP,∠P=∠P,所以△ADP∽△DBP,所以=,AD===.(2)证明:由已知:∠BCE=∠A,∠PBD=∠A+∠BDA,而AB=BD,故∠A=∠BDA,所以∠PBD=2∠A,又因为BE平分∠PBD,所以∠EBD=∠A,所以∠BCE=∠EBD,又∠BEC=∠BED,所以△BEC∽△DEB,所以=,BE2=CE·DE.2.(2022·郑州第一次质量预测)4\n如图所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,AB=5,求弦DE的长.解:(1)证明:因为PG=PD,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又因为∠EGA=∠PGD,所以∠EGA=∠DBA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.又AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,故AB为圆的直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以DE=AB=5.3.(2022·山西省质检)如图,⊙O1与⊙O2交于C,D两点,AB为⊙O1的直径,连接AC并延长交⊙O2于点E,连接AD并延长交⊙O2于点F,连接FE并延长交AB的延长线于点G.(1)求证:GF⊥AG;(2)过点G作⊙O1的切线,切点为H,若G,C,D三点共线,GE=1,EF=6,求GH的长.解: (1)证明:连接BC,GD.因为AB是⊙O1的直径,所以∠ACB=90°,4\n所以∠ABC+∠CAB=90°.由A,B,C,D四点共圆,得∠ABC=∠FDC,由C,D,F,E四点共圆,得∠GEC=∠FDC,所以∠GEC=∠ABC,所以∠GEC+∠CAB=90°,所以∠EGA=90°,即GF⊥AG.(2)因为GH为⊙O1的切线,GCD为⊙O1的割线,所以GH2=GC·GD.又GCD,GEF为⊙O2的两条割线,所以GC·GD=GE·GF,所以GH2=GE·GF=7,所以GH=.4.(2022·江西省调研)如图,已知圆O和圆M相交于A,B两点,AD为圆M的直径,直线BD交圆O于点C,点G为圆弧BD的中点,连接AG分别交圆O、BD于点E,F.连接CE.(1)求证:AG·EF=CE·GD;(2)求证:=.证明:(1)连接AB,AC,GD,因为AD为圆M的直径,所以∠AGD=90°,∠ABD=90°,则∠ABC=90°,所以AC为圆O的直径,所以∠CEA=90°,所以∠CEF=∠AGD=90°,因为∠DFG=∠CFE,所以∠ECF=∠GDF,因为G为弧BD的中点,所以∠DAG=∠GDF,所以∠DAG=∠ECF,所以Rt△CEF∽Rt△AGD,所以=,所以AG·EF=CE·GD.(2)由(1)知∠DAG=∠GDF,∠G=∠G,所以Rt△DFG∽Rt△ADG,所以=,所以DG2=AG·GF,由(1)知=,所以===,即=.4
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:33
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