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高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关理北师大版选修4_5
高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关理北师大版选修4_5
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第2讲不等式的证明1.如果x>0,比较(-1)2与(+1)2的大小.解:(-1)2-(+1)2=[(-1)+(+1)][(-1)-(+1)]=-4.因为x>0,所以>0,所以-4<0,所以(-1)2<(+1)2.2.设a>b>0,求证:>.证明:法一:-===,因为a>b>0,所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.所以->0,所以>.法二:因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0.所以=·===1+>1.所以>.3.(2022·高考湖南卷)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.3\n4.已知a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,求证:++<++.证明:法一:因为a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,所以++=++<++=++.所以++<++.法二:因为+≥2=2;+≥2=2;+≥2=2.所以以上三式相加,得++≥++.又因为a,b,c互不相等,所以++>++.法三:因为a,b,c是不等正数,且abc=1,所以++=bc+ca+ab=++>++=++.所以++<++.5.(2022·高考课标全国卷Ⅰ)若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.6.(2022·贵州省六校第一次联考)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)≥9.证明:(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以++=++=2=2=2+4≥4+4=8,3\n所以++≥8.(2)因为=+++1,由(1)知++≥8.所以≥9.3
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所属:
高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:31
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文章作者:U-336598
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