高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条　　　　　　　　　B．2条C．3条D．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，所以e＝＝＞＝.3．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为(　　)A．6B．2C.D．2解析：选D.设双曲线C1的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知抛物线C2的焦点为(3，0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9，将x＝－3代入双曲线方程，解得y＝±，又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，所以2×＝4，与a2＋b2＝9联立得，a2＋2a－9＝0，解得a＝，故双曲线C1的实轴长为2，故选D.4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，7\n所以·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.5．(2022·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1，故选C.6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为(　　)A．5B．4C.D.解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.7．(2022·宜宾模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得|PF2|＝，又|F1F2|＝|PF2|，所以2c＝，因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±，又0<e<1，所以e＝－1.答案：－18．(2022·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．7\n由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝＝＝＝.答案：9．(2022·高考江西卷)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＋＝0，所以＝－·.因为＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以－＝－，所以a2＝2b2.又因为b2＝a2－c2，所以a2＝2(a2－c2)，所以a2＝2c2，所以＝.答案：10．已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足条件的l的条数为________．解析：因为a2＝4，b2＝5，c2＝9，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x＝3代入－＝1得y＝±，所以|AB|＝5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB|＝5的直线有2条，且关于x轴对称．综上，一共有3条．答案：311．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x27\n相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长．解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，所以抛物线C1的方程为y2＝36x.设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)．联立消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，Δ＝k2－8k－48.由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0，解得k＝－4或k＝12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2.12．(2022·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围．解：(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，所以a2＝b2.因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，　所以b＝，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则·＝－4，当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，由⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．因为y1＋y2＝－，y1y2＝，7\n所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，因为m2>4，所以·∈.综上所述，·的取值范围为.1．(2022·高考全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选A.由题意知a＝，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．因为·＜0，所以(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以2＋2y－3＋y＜0，所以－＜y0＜.故选A.2．(2022·高考山东卷)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.7\n答案：2＋3．(2022·衡水调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．解：(1)由题意知c＝1，2a＝＋＝4，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)①当直线l⊥x轴时，可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.可得|AB|＝，又圆F2的半径r＝，所以△AF2B的面积为|AB|r＝＝，化简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，所以r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.4．(2022·高考湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，7\n所以＋＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.7