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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程知能训练轻松闯关理北师大版

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第3讲圆的方程1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(  )A.x2+y2=2       B.x2+y2=C.x2+y2=1D.x2+y2=4解析:选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.(2022·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA,OB,若在该圆上存在一点C,使得=a+b(a,b∈R),则以下说法正确的是(  )A.点P(a,b)一定在单位圆内B.点P(a,b)一定在单位圆上C.点P(a,b)一定在单位圆外D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上解析:选B.因为2=(a+b)2,且⊥,所以a2+b2+2ab·=a2+b2=1,因此点P(a,b)一定在单位圆上,故选B.3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(  )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1解析:选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),a>0,又圆与直线4x-3y=0相切,可得=1,解得a=2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.(2022·辽宁省五校联考)直线x-2y-2k=0与直线2x-3y-k=0的交点在圆x2+y2=9的外部,则k的取值范围为(  )A.k<-或k>B.-<k<C.-<k<D.k<-或k>解析:选A.解方程组得交点坐标为(-4k,-3k).由题意知(-4k)2+(-3k)2>9,解得k>或k<-,故选A.5.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长的比为1∶2,则圆C的方程为(  )A.+y2=B.+y2=C.x2+=D.x2+=解析:选C.由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为π,设圆心(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±,5\n故圆C的方程为x2+=.6.(2022·洛阳统考)若直线l:ax+by+1=0(a≥0,b≥0)始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则a2+b2-2a-2b+3的最小值为(  )A.B.C.2D.解析:选B.因为直线ax+by+1=0始终平分圆x2+y2+4x+2y+1=0的周长,所以圆心(-2,-1)在直线ax+by+1=0上,从而2a+b-1=0.a2+b2-2a-2b+3=(a-1)2+(b-1)2+1,而(a-1)2+(b-1)2表示点(1,1)与直线2a+b-1=0上任一点距离的平方,其最小值d==,所以a2+b2-2a-2b+3的最小值为+1=,故选B.7.(2022·高考陕西卷)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.解析:圆C的圆心为(0,1),半径为1,标准方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=18.(2022·太原模拟)已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点,点C是圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心,那么|PC|的最小值是________.解析:点C到直线3x+4y+8=0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,而圆心C的坐标是(1,1),因此最小距离为=3.答案:39.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是________.解析:因为圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以其圆心为(-1,2),且5-a>0,即a<5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以2=-2+b,所以b=4.所以a-b=a-4<1.答案:(-∞,1)10.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C截得的弦长为2,则圆的方程为________.解析:由题意设圆心为(m,0)(m>0),则圆的半径r=|1-m|,圆心到直线l:y=x-1的距离d=,又直线l:y=x-1被圆C截得的弦长为2,所以2=2,整理得|1-m|=2,解得m=3(m=-1不符合题意,舍去),则r=2,故圆的方程为(x-3)2+y2=4.答案:(x-3)2+y2=411.求适合下列条件的圆的方程.(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).解:(1)法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有5\n解得a=1,b=-4,r=2.所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.法二:过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r==2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得D=-2,E=-4,F=-95.所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.12.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上,得a+b-3=0.①又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.1.已知两点A(0,-3)、B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为(  )A.6B.C.8D.解析:选B.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.2.设命题p:(x,y,k∈R且k>0);命题q:(x-3)2+y2≤25(x,y∈5\nR).若p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是________.解析:如图所示:命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界),命题q表示的范围是以点(3,0)为圆心,5为半径的圆及圆内部分,p是q的充分不必要条件,实际上只需A,B,C三点都在圆内(或圆上)即可.由题知B,则解得0<k≤6.答案:(0,6]3.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.解:(1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,·=0,得解得或若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.所以舍去,即=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心C(3,-1),半径r=,因为=+=(4,-3)+(6,8)=(10,5),所以直线OB的方程为y=x.设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),则解得所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.4.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程;(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5\n解:(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有⇒或由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解之得x=或x=0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.5

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发布时间:2022-08-25 16:57:18 页数:5
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文章作者:U-336598

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