【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第12章 第2节 坐标系与参数方程（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第2节坐标系与参数方程新人教B版一、选择题1．(2022·北京理)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上　　　B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D.在直线y＝x＋1上[答案]　B[解析]　由已知得消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上，故选B.2．直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为(　　)A．40°B.50°C．140°D.130°[答案]　C[解析]　将直线的参数方程变形得，，∴倾斜角为140°.3．过点A(2,3)的直线的参数方程为(t为参数)，若此直线与直线x－y＋3＝0相交于点B，则|AB|＝(　　)A.B.2C．3D.[答案]　B[解析]　由消去t得，2x－y－1＝0与x－y＋3＝0联立得交点B(4,7)，∴|AB|＝2.[点评]　本题可将代入x－y＋3＝0得t＝2，由|AB|＝t得|AB|＝24．(文)(2022·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1[答案]　B[解析]　由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.(理)在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是(　　)A．ρcosθ＝B.ρsinθ＝C．ρ＝cosθD.ρ＝sinθ[答案]　B-7-\n[解析]　设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B.5．(2022·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)A.B.2C.D.2[答案]　D[解析]　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.6．在极坐标系下，直线ρcos＝与曲线ρ＝的公共点个数为(　　)A．0　　B.1　　　　C．2　　D.2或0[答案]　B[分析]　讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．[解析]　方程ρcos＝化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，∴x＋y＝2，方程ρ＝，即x2＋y2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.二、填空题7．(2022·湖南理)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．[答案]　ρ(cosθ－sinθ)＝1[解析]　由题意得曲线C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2,1)，则直线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.8．(文)(2022·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案]　(2,5)[解析]　将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，由解得故交点坐标为(2,5)．(理)(2022·广东理)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ与ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．-7-\n[答案]　(1,1)[解析]　由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝x，即曲线C1的直角坐标方程为y2＝x；由ρsinθ＝1可得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.解方程组可得所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)．9．(2022·上海六校二联)若点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．[答案]　(－∞，－]∪[，＋∞)[解析]　由消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，∴Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－或k≥.三、解答题10．(文)(2022·衡水中学二调)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．[解析]　(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，化为直角坐标方程为：x2＋y2－4x＝0直线l的直角坐标方程为：y＝x－m(2)把(t是参数)代入方程x2＋y2－4x＝0,得t2＋(m－2)t＋m2－4m＝0，∴t1＋t2＝－(m－2)，t1t2＝m2－4m.∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.∴m＝1或m＝3.(理)(2022·邯郸市一模)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为(φ为参数)．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为(ρ1，)，(ρ2，)．(1)写出曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)求|AB|的值．[解析]　(1)参数方程(φ为参数)化为普通方程x2＋(y－2)2＝4普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程ρ＝4sinθ.(2)方法1：由A(ρ1，)，B(ρ2，)可知∠AOB＝，AB为直径，|AB|＝4方法2：∵(ρ1，)，(ρ2，)在C上，∴A(2，)，B(2，)化为直角坐标A(，3)，B(－，1)，∴两点间距离|AB|＝4.一、解答题11．直线(t为参数)被曲线ρ＝cos(θ＋)所截的弦长为________．[答案]　-7-\n[解析]　由得直线方程为3x＋4y＋1＝0，∵ρ＝cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，即(x－)2＋(y＋)2＝.圆心到直线的距离d＝，∴弦长＝2×＝.12．(2022·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C在点(2，)处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________．[答案]　x＋y－2＝0[解析]　根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x2＋y2＝4，点(2，)⇒(，)，因为点(，)在圆x2＋y2＝4上，故圆在点(，)处的切线方程为x＋y＝4⇒x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0.13．(2022·广东理，14)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．[答案]　ρsin(θ＋)＝[解析]　∵曲线C的参数方程为(t为参数)，∴其普通方程为x2＋y2＝2.又点(1,1)在曲线C上，∴曲线l的斜率k＝－1.故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，即ρsin(θ＋)＝.二、解答题14．(文)(2022·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1，2)，方向向量为n＝(－1，)的直线，圆C的方程为ρ＝2cos(θ＋)．(1)求直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．[解析]　(1)∵n＝(－1，)，∴直线的倾斜角α＝.∴直线的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．(2)∵ρ＝2(cosθ＋sinθ)＝cosθ＋sinθ，∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.∴x2＋y2－x＋y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2)t＋6＋2＝0.-7-\n∴|t1t2|＝6＋2，即|PM|·|PN|＝6＋2.(理)已知圆M：(θ为参数)的圆心F是抛物线E：的焦点，过F的直线交抛物线于A、B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．[解析]　圆M：的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．抛物线E：的普通方程是y2＝2px，所以＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)，代入y2＝4x，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0.所以|AF|·|FB|＝|t1t2|＝.因为0<sin2φ≤1，所以|AF|·|FB|的取值范围是[4，＋∞)．15．(文)(2022·新课标全国Ⅰ理)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解析]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.(理)(2022·呼和浩特市期中)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若直线l与圆C相切，求m的值；(2)若m＝－1，求圆C上的点到直线l的最小距离．[解析]　(1)圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2＋y2＝2x，配方可得(x－1)2＋y2＝1.∴圆心C坐标为(1,0)，半径为r＝1.直线l的普通方程为x＋2y＝2m－4.圆心C到直线l的距离为d＝＝，∵直线l与圆C相切，∴d＝r.即＝1，解得m＝.(2)当m＝－1时，d＝＝，∴d＞r，直线l与圆C相离，-7-\n∴圆上的点到直线l的最小距离－1.16．(文)(2022·甘肃会宁二中模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＋6sinθ－8cosθ＝0(ρ≥0)．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)直线l：(t为参数)过曲线C1与y轴负半轴的交点，求与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程．[解析]　(1)曲线C1的普通方程为：＋＝1，由ρ＋6sinθ－8cosθ＝0得ρ2＋6ρsinθ－8ρcosθ＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2＋y2－8x＋6y＝0.(2)曲线C1：＋＝1与y轴负半轴的交点坐标为(0，－3)，又直线l的参数方程为∴得λ＝，即直线l的参数方程为得直线l的普通方程为3x－4y－12＝0，设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x－4y＋k＝0，∵曲线C2是圆心为(4，－3)，半径为5的圆，∴＝5，解得k＝1或k＝－49，故所求切线方程为：3x－4y＋1＝0或3x－4y－49＝0.(理)(2022·辽宁省协作校一模)已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－2cosθ.(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)已知点M1、M2的极坐标分别是(1，π)、(2，)，直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求＋的值．[解析]　(1)曲线C1的普通方程：x2＋＝1化为极坐标方程：ρ2cos2θ＋＝1曲线C2的直角坐标方程：(x＋1)2＋y2＝1(2)在直角坐标系下，M1(－1,0)，M2(0,2)线段PQ是圆(x＋1)2＋y2＝1的一条直径，∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ，有OA⊥OBA，B是椭圆x2＋＝1上的两点，在极坐标系下，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，分别代入ρ2cos2θ＋＝1中，-7-\n有ρcos2θ＋＝1，ρcos2(θ＋)＋＝1解得：＝cos2θ＋，＝sin2θ＋.则＋＝cos2θ＋＋sin2θ＋＝1＋＝即＋＝.-7-