【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第8节 曲线与方程 理(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第8节曲线与方程(理)新人教B版一、选择题1.平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( )A.一条直线 B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内,直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点.点C的轨迹是平面α、β的交线.2.已知椭圆的焦点为F1、F2,P是椭圆上一个动点,延长F1P到点Q,使|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹为( )A.圆 B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线[答案] A[解析] |QF1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆.[点评] 关于轨迹方程的问题(1)定义法求轨迹方程①已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点A到F1的距离是2,线段AF2的垂直平分线交AF1于点P,则点P的轨迹方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[答案] C[解析] 依题意得,|PA|=|PF2|,又|PA|+|PF1|=|AF1|=2,故|PF1|+|PF2|=2,点P的轨迹为椭圆,方程为+=1.-10-\n②若点P到直线y=-2的距离比它到点A(0,1)的距离大1,则点P的轨迹为( )A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线[答案] D[解析] 由条件知,点P到直线y=-1的距离与它到点A(0,1)的距离相等,∴P点轨迹是以A为焦点,直线y=-1为准线的抛物线.③正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线[答案] B[解析] 由P向AD作垂线垂足为N,由题意知|PN|2+1-|PM|2=1,∴|PN|=|PM|,即动点P到直线AD的距离等于动点P到点M的距离,∴点P的轨迹是抛物线.④在一张矩形纸片上,画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外).在圆上任取一点M,将纸片折叠使点M与点F重合,得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P,则点P的轨迹为( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线[答案] A[解析] 由OP交⊙O于M可知|PF|-|PO|=|PM|-|PO|=|OM|<|OF|(F在圆外),∴P点的轨迹为双曲线,故选A.⑤已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.[分析] 设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+r1,|MC2|=r-r2,则|MC1|-|MC2|=r1+r2=定值,故可用双曲线定义求解轨迹方程.[解析] 如图,设动圆M的半径为r,则由已知得|MC1|=r+,|MC2|=r-.∴|MC1|-|MC2|=2.又C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8,∴2<|C1C2|.根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.∵a=,c=4,∴b2=c2-a2=14,∴点M的轨迹方程是-=1(x≥).-10-\n⑥圆O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线l是圆O的一条切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点的轨迹是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆[答案] B[解析] 设抛物线的焦点为F,因为A、B在抛物线上,所以由抛物线的定义知,A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN,过O作OP⊥l,由于l是圆O的一条切线,所以四边形AMNB是直角梯形,OP是中位线,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|.根据椭圆的定义知,焦点F的轨迹是一个椭圆.(2)直译法求轨迹方程.⑦已知平面上两定点A、B的距离是2,动点M满足条件·=1,则动点M的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线[答案] B[解析] 以线段AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),∵·=1,∴(-1-x,-y)·(1-x,-y)=1,∴x2+y2=2,故选B.⑧设x1、x2∈R,常数a>0,定义运算“*”,x1]x*a))的轨迹是( )A.圆B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x1]x*a)==2,则P(x,2).设P(x1,y1),即,消去x得,y=4ax1(x1≥0,y1≥0),故点P的轨迹为抛物线的一部分.故选D.⑨已知log2x、log2y、2成等差数列,则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为( )-10-\n[答案] A[解析] 由log2x,log2y,2成等差数列得2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选A.⑩(2022·广州模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )A.x2+y2=2B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x≠±2)D.x2+y2=4(x≠±2)[答案] D⑪(2022·上海徐汇一模)在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0),N(2,0)满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为________.[答案] y2=-8x[解析] 由题意可知=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y),由||·||+·=0,可知4+4(x-2)=0,化简,得y2=-8x.(3)代入法求轨迹方程⑫动点A在圆x2+y2=1上移动,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=[答案] C[解析] 设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选C.⑬平面直角坐示系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线[答案] A[解析] 设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),∵=λ1+λ2,∴,解得又λ1+λ2=1,-10-\n∴x+2y-5=0,表示一条直线.⑭设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________.[答案] x2-4y2=1[解析] 设M(x,y),则P(2x,2y),代入双曲线方程得x2-4y2=1,即为所求.3.(2022·山东青岛一模)如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于( )A.5 B.6 C.7 D.8[答案] B[解析] 由题意可知,p=4,F(2,0),P(2,4),Q(2,-4),QN:y=-4,直线QN,MN关于l:x-y-10=0对称,即直线l平分直线QN,MN的夹角,所以直线MN垂直于y轴.解得N(6,-4),故x0等于6.故选B.4.(2022·北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动,且OD=BE,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是( )A.y=x(1-x)(0≤x≤1)B.x=y(1-y)(0≤y≤1)C.y=x2(0≤x≤1)D.y=1-x2(0≤x≤1)[答案] A[解析] 设D(0,λ),E(1,1-λ)(0≤λ≤1),所以线段AD方程为y=-λx+λ(0≤x≤1),线段OE方程为y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组(λ为参数),消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1-x)(0≤x≤1),故A正确.5.(2022·河南开封第二次模拟)已知双曲线M:-=1和双曲线N:-=1,其中b>a>0,且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线M的离心率是( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 解方程组得x2=,由=c2,化简得--1=0.所以=,∴e====.-10-\n6.(2022·芜湖模拟)方程+=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论;①f(x)在R上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则函数y=g(x)的图象就是方程+=1确定的曲线.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.①③④D.①②③[答案] D[解析] 当x≥0,y≥0时,方程为+=-1,此时方程不成立.当x<0,y<0时,方程为+=1,此时y=-3.当x>0,y<0时,方程为-=-1,即y=-3.当x<0,y>0时,方程为-+=-1,即y=3.作出函数的图象如图,由图象可知,函数在R上单调递减.所以①成立.②由F(x)=4f(x)+3x=0得f(x)=-x.因为双曲线-=-1和-+=-1的渐近线为y=±x,所以F(x)=4f(x)+3x没有零点,所以②正确.由图象可知函数的值域为R,所以③正确.若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则函数y=g(x)的图象就是方程+=-1,即+=1,所以④错误,综上①②③正确,故选D.二、填空题7.(2022·北京模拟)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.[答案] -=1(x>3)8.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点,则AB中点M的轨迹方程为________.[答案] x+y-1=0-10-\n[解析] 设l1:y-1=k(x-1),则l2:y-1=-(x-1),l1与x轴交点A(1-,0),l2与y轴交点B(0,1+),设AB中点M(x,y),则消去k得,x+y-1=0.9.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交,且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则圆心的轨迹方程是________.[答案] (x+1)2-y2=65[解析] 设圆心P(x,y),动圆半径为r,P到l1、l2的距离分别为d1、d2,由题意知d+169=r2=d+144,∴d-d=25,即-=25,整理得,(x+1)2-y2=65.三、解答题10.已知双曲线-=1的左右顶点分别为A1、A2,点P是双曲线上任一点,Q是P关于x轴的对称点,求直线A1P与A2Q交点M的轨迹E的方程.[解析] 由条件知A1(-3,0),A2(3,0),设M(x,y),P(x1,y1),则Q(x1,-y1),|x1|>3,∴直线A1P:y=·(x+3),A2Q:y=·(x-3),两式相乘得=,∵点P在双曲线上,∴-=1,∴=-,∴=-,整理得+=1(xy≠0).一、解答题11.(2022·安徽名校联盟联考)设定点M(-2,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,线段MN的中点为点P.(1)求点P的轨迹方程;(2)设直线l与点P的轨迹相切,且l在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.[解析] (1)设P点坐标为(x,y),N点坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式有∵N点在圆x2+y2=4上,∴x+y=4.∴(2x+2)2+(2y-4)2=4,∴(x+1)2+(y-2)2=1,即点P的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=1.(2)因直线l在x轴、y轴上的截距相等,故l的斜率存在且不为0,当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时,设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0.∵直线l与(x+1)2+(y-2)2=1相切,∴=1⇒k=-,故直线l的方程为y=-x.-10-\n当l在x轴、y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为+=1,即x+y-a=0.∵直线l与(x+1)2+(y-2)2=1相切,则有=1,解得a=+1或a=1-.故直线l的方程为x+y-1-=0或x+y-1+=0,综上可知l的方程为y=-x或x+y-1-=0或x+y-1+=0.12.(2022·大纲全国理)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.[解析] (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得,y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E(+2m2+3,-).|MN|=|y3-y4|=.由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=-10-\n化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.13.(2022·鹤壁淇县检测)如图所示,已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP所在直线上,且·=0,=2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.[解析] 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-,0),半径r=2,∵·=0,=2,∴MQ⊥AP,点M是AP的中点,即QM是线段AP的中垂线,连接AQ,则|AQ|=|QP|,∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=2,又|AC|=2>2,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.14.(2022·银川市质检)已知动圆过定点A(2,0),且在y轴上截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)过点F(1,0)的直线交轨迹C于A,B两点,交它的准线于点N,已知=λ1,=λ2,求证λ1+λ2为定值.[解析] (1)设动圆圆心为O1(x,y),当O1不在y轴上时,则有|O1M|=|O1A|⇔=,化简整理可得y2=4x(x≠0);当O1在y轴上时,O1即为O,则O(0,0)也满足方程y2=4x.∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证法一:设直线AB的方程为x=my+1,则N(-1,-).设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-4my-4=0,∴由=λ1,=λ2可知y1+=-λ1y1,y2+=-λ2y2,则λ1=-1-,λ2=-1-.∴λ1+λ2=-2-2(+)=-2-·=-2-·=0.证法二:由=λ1,=λ2可知λ1·λ2<0,∴=-·.①-10-\n分别过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则==.②由①②可知-=1⇒λ1+λ2=0.-10-
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