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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第4节 数学归纳法 理(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第4节 数学归纳法 理(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第4节数学归纳法(理)新人教B版一、选择题1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边的项是( )A.1 B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列,故n=1时,应为1+a+a2.2.在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时,第一步验证的n0最小值为( )A.1 B.3 C.5 D.7[答案] C[解析] n的取值与2n,n2的取值如下表:n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度,故当n>4时恒有2n>n2.3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)>k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立[答案] D[解析] 对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D.4.(2022·河北冀州中学期末)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项,如下表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6-7-\n按如此规律下去,则a2022=( )A.501B.502 C.503D.504[答案] D[解析] a1,a3,a5,a7,…组成的数列恰好对应数列{xn},即xn=a2n-1,由于a1=1,a3=-1,a5=2,a7=-2,a9=3,…,所以x1=1,x3=2,x5=3,…,当n为奇数时,xn=,所以a2022=x1007=504.5.(2022·河南洛阳质检)已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++[答案] D[解析] f(n)的项数为n2-(n-1)=n2-n+1.6.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,得图(2);如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形( )A.(8n-1)个B.(8n+1)个C.(8n-1)个D.(8n+1)个[答案] C[解析] 第1个图挖去1个,第2个图挖去1+8个,第3个图挖去1+8+82个……第n个图挖去1+8+82+…+8n-1=个.二、填空题7.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步假设n=2k-1(k-7-\n∈N+)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.[答案] 2k+18.凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.[答案] π[解析] 将k+1边形A1A2…AkAk+1的顶点A1与Ak连接,则原k+1边形分为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk+1,显见有f(k+1)=f(k)+π.9.(2022·江西上饶二模)如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>l,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则+++…+=________.[答案] [解析] 由图案的点数可知a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以an=3(n-1),n≥2,所以===-,+++…+=(1-)+(-)+…+(-)=.三、解答题10.设n∈N*,n>1,求证:1+++…+>.[证明] (1)当n=2时,不等式左边=1+>=右边.(2)假设n=k(k>1,k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+>,那么当n=k+1时,有1+++…++>+=>==.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知对任何n∈N*,n>1,1+++…+>均成立.一、解答题11.已知点列An(xn,0),n∈N*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…An是线段An-2An-1的中点,…,(1)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n≥3);-7-\n(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.[解析] (1)当n≥3时,xn=.(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=-x2=-(x2-x1)=-a,a3=x4-x3=-x3=-(x3-x2)=a,由此推测an=(-)n-1a(n∈N*).证法1:因为a1=a>0,且an=xn+1-xn=-xn==-(xn-xn-1)=-an-1(n≥2),所以an=(-)n-1a.证法2:用数学归纳法证明:(1)当n=1时,a1=x2-x1=a=(-)0a,公式成立.(2)假设当n=k时,公式成立,即ak=(-)k-1a成立.那么当n=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1=-(xk+1-xk)=-ak=-(-)k-1a=(-)(k+1)-1a,公式仍成立,根据(1)和(2)可知,对任意n∈N*,公式an=(-)n-1a成立.12.已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n(n≥2,n∈N*).(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.(2)设bn=,Tn=b2+b3+b4+…+bn.试用数学归纳法证明:当n≥2时,Tn=.[解析] (1)当n=5时,原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.(2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n,所以a2=C·2n-2,bn==2C=n(n-1)(n≥2).①当n=2时.左边=T2=b2=2,右边==2,左边=右边,等式成立.②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即Tk=成立那么,当n=k+1时,-7-\n左边=Tk+bk+1=+(k+1)[(k+1)-1]=+k(k+1)=k(k+1)===右边.故当n=k+1时,等式成立.综上①②,当n≥2时,Tn=.13.(2022·北京房山摸底)已知曲线C:y2=2x(y≥0),A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),…是曲线C上的点,且满足0<x1<x2<…<xn<…,一列点Bi(ai,0)(i=1,2,…)在x轴上,且△Bi-1AiBi(B0是坐标原点)是以Ai为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求A1,B1的坐标;(2)求数列{yn}的通项公式;(3)令bi=,ci=,是否存在正整数N,当n≥N时,都有i<i,若存在,求出N的最小值并证明;若不存在,说明理由.[解析] (1)∵△B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形,∴直线B0A1的方程为y=x.由得x1=y1=2,即点A1的坐标为(2,2),进而得B1(4,0).(2)根据△Bn-1AnBn和△BnAn+1Bn+1分别是以An和An+1为直角顶点的等腰直角三角形可得即xn+yn=xn+1-yn+1.(*)∵An和An+1均在曲线C:y2=2x(y≥0)上,∴y=2xn,y=2xn+1.∴xn=,xn+1=,代入(*)式得y-y=2(yn+1+yn).∴yn+1-yn=2(n∈N*).∴数列{yn}是以y1=2为首项,2为公差的等差数列.∴其通项公式为yn=2n(n∈N*).(3)由(2)可知,xn==2n2,∴an=xn+yn=2n(n+1).∴bi=,ci==,∴i=++…+=(1-+-+…+-)=(1-),-7-\ni=++…+==(1-).i-i=(1-)-(1-)=(-)=.当n=1时,b1=c1不符合题意,当n=2时b2<c2符合题意,当n=3时,b3<c3,符合题意,猜想对于一切大于或等于2的自然数都有i<i,(*)观察知,欲证(*)式成立,只需证明n≥2时,n+1≤2n.以下用数学归纳法证明,①当n=2时,左边=3,右边=4,左边<右边;②假设n=k(k≥2)时,k+1<2k,当n=k+1时,左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边.∴对于一切大于或等于2的正整数,都有n+1<2n,即i<i成立.综上,满足题意的N的最小值为2.14.(2022·重庆理,22)设a1=1,an+1=+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.[解析] (1)a2=2,a3=+1,再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*).(2)设f(x)=-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下面用数学归纳法证明a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.-7-\n综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.-7-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:14:17
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