【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第12章 第5节 数学归纳法 理（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第5节数学归纳法(理)北师大版一、选择题1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为(　　)A．1B．C．1＋＋＋＋D．非以上答案[答案]　C[解析]　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C．2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(　　)A．7B．8C．9D．10[答案]　B[解析]　由Sn＝>得n>7，又n∈N＋，所以n≥8.3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________(　　)A．B．πC．πD．2π[答案]　B[解析]　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.4．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1[答案]　D[解析]　由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.5．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.-6-\n2°假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法(　　)A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]　D[解析]　本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．6．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)[答案]　D[解析]　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．二、填空题7．(2022·陕西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2022(x)的表达式为________．[答案]　[解析]　考查归纳推理．f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，f2022(x)＝.8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]　2k＋1[解析]　∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．-6-\n[答案]　2(2k＋1)[解析]　当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．三、解答题10．(2022·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解析]　(1)a1＝S1＝2a2－3×12－4×1＝2a2－7①a1＋a2＝S2＝4a3－3×22－4×2＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20，∴a1＋a2＝8②联立①②解得，∴a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7，综上a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用数学归纳法证明：①由(1)知，当n＝1时，a1＝3＝2×1＋1，猜想成立；②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋1，∴Sk＝3k＋×2＝k2＋2k，又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴2kak＋1－3k2－4k＝k2＋2k，∴ak＋1＝2k＋3，即n＝k＋1时，有ak＋1＝2(k＋1)＋1成立．由数学归纳法原理知，an＝2n＋1成立.一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[答案]　D[解析]　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.-6-\n2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为(　　)A．190　　B．715C．725　　D．385[答案]　B[解析]　由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝.当n＝10时，总数为715.二、填空题3．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．[答案]　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2[解析]　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了________项．[答案]　2k[解析]　当n＝k时为1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时为1＋＋…＋＋＋…＋，所以从n＝k到n＝k＋1增加了2k项．三、解答题5．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N＋)．(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳并猜想{xn}的通项公式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．[解析]　(1)x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，-6-\nx4＝f(x3)＝＝.(2)根据计算结果，可以归纳猜想出xn＝.(3)证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，公式成立，即xk＝，那么，当n＝k＋1时，有xk＋1＝＝＝＝，所以，当n＝k＋1时公式也成立．由①②知，对任意n∈N＋，有xn＝成立．6．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．[解析]　假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立．当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组解得证明如下：①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)-6-\n＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．即n＝k＋1时，等式成立．因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．-6-