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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 双曲线(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 双曲线(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第7节双曲线北师大版一、选择题1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1[答案] C[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线.双曲线的渐近线方程为y=±x,比较y=±x,∴a=2.2.(2022·新课标Ⅰ)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.C.D.1[答案] D[解析] 本题考查双曲线的标准方程及离心率.由条件知a2+3=c2,e==2,∴a=1,选D.3.双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式.不妨设顶点(2,0),渐近线y=,即x-2y=0,∴d==.-9-\n4.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是( )A.4B.12C.4或12D.不确定[答案] C[解析] 由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=±2a,则|PF1|=|PF2|±2a=8±4,∴|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.5.(2022·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y=2x+10上,则一个焦点为(-5,0),又由渐近线平行于直线y=2x+10.则=2,结合a2+b2=c2,c=5得,a2=5,b2=20,双曲线标准方程为-=1,选A.6.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且·=0,则|+|等于( )A.B.2C.D.2[答案] B[解析] 由题意知:F1(-,0),F2(,0),2c=2,2a=2.∵·=0,∴PF1⊥PF2,∴|+|=2PO=|F1F2|,∴|+|=2.二、填空题-9-\n7.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.[答案] 16[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算.根据标准方程可知,a2=m,b2=9,而c=5,∴c2=a2+b2,∴52=m+9.∴m=16.8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.[答案] 2[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识.由双曲线标准方程-=1知a2=m>0,b2=m2+4,∴c2=a2+b2=m+m2+4,由e=得=5,∴m>0且=5,∴m=2.9.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.[答案] x2-=1[解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),∴,解得,∴双曲线的标准方程为x2-=1.三、解答题10.根据下列条件求双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,且过点M(,-1);(2)与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=.[解析] (1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,∴可设双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0).又∵双曲线过点M,∴λ=4×-9=72.-9-\n∴双曲线方程为4x2-9y2=72,即-=1.(2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即c=5且焦点在x轴上,∴可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),且c=5.又e==,∴a=4,∴b2=c2-a2=9.∴双曲线的标准方程为-=1.解法2(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x轴上,∴可设双曲线方程为-=1(24<λ<49).又e=,∴=-1,解得λ=33.∴双曲线的标准方程为-=1.一、选择题1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] A[解析] ∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切,即直线bx-ay=0与圆C相切,∴=2,∴5b2=4a2.①-9-\n又∵-=1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),∴a2+b2=9.②由①②得a2=5,b2=4.∴双曲线的标准方程为-=1.2.(文)(2022·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.4D.[答案] D[解析] 此题考查双曲线的定义和几何性质及方程的思想.∵|PF1|-|PF2|=2a,∴(2a)2=b2-3ab,即4a2=b2-3ab,即4a2+3ba-b2=0,∴(4a-b)(a+b)=0,∴b=4A.又∵c2=b2+a2,∴c2=17a2,∴e2=17即e=.(理)(2022·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3[答案] B[解析] 不妨设点P是右支上的一点,由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=,|PF2|=,|PF1||PF2|=×=,=,解得3b=4a,所以离心率为e=.双曲线的离心率e==.二、填空题3.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为________.[答案] 4-9-\n[解析] 设C:-=1.∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4.得A(-4,),B(-4,-),∴|AB|=2=4,∴a=2,∴2a=4.∴C的实轴长为4.4.双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被点(,0)分成32两段,则此双曲线的离心率为________.[答案] [解析] ∵(+c)(c-)=32.∴c=b,a==b,e===.三、解答题5.已知点A(-,0)和点B(,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点,求线段DE的长.[分析] 求双曲线方程,联立方程组,结合根与系数的关系求弦长.[解析] 设点C(x,y),则|CA|-|CB|=±2,根据双曲线的定义,可知点C的轨迹是双曲线-=1.(a>0,b>0)由2a=2,2c=|AB|=2,得a2=1,b2=2,故点C的轨迹方程是x2-=1,由,消去y并整理得x2+4x-6=0.因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,故|DE|==·=4.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.6.(文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).-9-\n(1)求双曲线C的方程;(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.[解析] (1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2,又a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)联立,整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴,可得m2>3k2-1且k2≠.①设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),则x1+x2=,x0==,y0=kx0+m=,由题意,AB⊥MN,∵kAB==-(k≠0,m≠0),整理得3k2=4m+1,②将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4,又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).(理)(2022·福建高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1、l2于A,B两点(A、B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.-9-\n[解析] (1)∵双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,∴=2,∴=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C,当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又∵△OAB的面积为8,∴|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1,若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能是-=1.以下证明:当直线l与x轴不垂直时,双曲线E:-=1也满足条件,设直线l的方程为y=kx+m,依题意得k>2或k<-2,-9-\n则C(-,0),记A(x1,y1)、B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得|-|·|-|=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4),由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,∵4-k2<0∴Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又∵m2=4(k2-4),∴Δ=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.-9-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:29
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