【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第5节 椭圆（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第5节椭圆北师大版一、选择题1．(2022·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.2．已知椭圆的一个焦点为F(0,1)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为(　　)A．＋y2＝1　　　　　　B．x2＋＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]　D[解析]　由已知，c＝1，∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1，故选D．3．(文)(教材改编题)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1][答案]　A[解析]　方程可化为＋＝1，焦点在y轴上，则有>2，即k<1，又k>0，∴0<k<1.(理)设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)-10-\nA．∪B．C．D．[答案]　C[解析]　化为＋＝1，∴－>>0，故选C．4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]　A[解析]　依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，故cos60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝.-10-\n6．(2022·全国大纲高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]　A[解析]　本题考查了椭圆的定义，离心率的计算，根据条件可知＝，且4a＝4，得a＝，所以c＝1，b2＝2，故C的方程为＋＝1.二、填空题7．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m＝________.[答案]　或[解析]　e2＝＝1－，则1－＝或1－＝，解得m＝或m＝.8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．[答案]　＋＝1[解析]　本题主要考查椭圆的定义及几何性质．依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．[答案]　[解析]　∵·＝0，∴⊥.-10-\n∴||2＝||2－||2＝||2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，∴故||min＝2，∴||min＝.三、解答题10．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．[解析]　由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，由＝2，得x＝，y＝，将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.一、选择题1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)A．3B．2C．2D．4[答案]　C-10-\n[解析]　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0<m<n)，联立方程组：，消去x得：(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得：3m＋n＝16mn，即：＋＝16.又c＝2，焦点在x轴上，故－＝4，联立解得：，故长轴长为2.2．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　本题考查了椭圆离心率的求法．根据＋＝1可得F1(－c,0)，P(－c，)，故OP与AB的斜率分别是kOP＝－，kAB＝－，根据OP∥AB得－＝－，即b＝C．由于a2＝b2＋c2，即a2＝2c2，故e＝＝.二、填空题3．(2022·安徽高考)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案]　x2＋y2＝1[解析]　如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，-10-\n又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B点坐标为(－c，－b2)，代入椭圆方程得，∴方程为x2＋y2＝1.4．(文)(2022·江西高考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．[答案]　[解析]　本题是椭圆综合性质的考查，∵AB⊥x轴，不妨设A(c，)，B(c，－)，又∵D是F1B与y轴的交点，可求得D(0，－)且为BF1的中点．∵AD⊥F1B，∴△F1AB为等腰三角形，∴|AF1|＝|AB|＝2·，∴|AF1|＋|AF2|＝2·＋＝3·，由椭圆定义得3·＝2a，∴＝，∴＝，∴e＝.(理)(2022·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．[答案]　[解析]　由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得①－②，并整理得＝－.(*)∵M是线段AB的中点，且过点M(1,1)的直线斜率为－，-10-\n∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝＝－.∴(*)式可化为＝，即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，即＝.∴e＝＝.三、解答题5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．[解析]　(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点为(，－)．6．(文)(2022·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切与点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．[解析]　(1)如图所示，-10-\n由椭圆的几何性质|AB|＝，而|AB|＝|F1F2|，∴a2＋b2＝×4c2＝3c2.又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝，∴e＝.(2)由(1)设椭圆方程＋＝1.设P(x1，y1)，B(0，c)，F1(－c,0)，F2(c,0)，∵P是异于顶点的点，∴x1≠0，y1≠0.以PB为直径的圆过F1，即PF1⊥BF1，∴·＝－1，∴y1＝－(x1＋c)．设PB中点D(，)，即D为(，)．由题意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2，∵|DM|＝|DB|＝r，∴|DF2|2＝(－c)2＋，|MF2|2＝8，|DM|2＝＋(c＋)2，即(－c)2＋＝8＋＋(c＋)2.整理得cx1＝－4　①又P(x1，－(x1＋c))在椭圆上，∴x＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3x＋4cx1＝0　②∵x1≠0，∴，解之得c2＝3，∴所求椭圆方程为＋＝1.(理)(2022·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A-10-\n，上顶点为B．已知|AB|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．[解析]　(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则＝.所以，椭圆的离心率e＝.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1.设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0，又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①又因为点P在椭圆上，故＋＝1②由①和②可得3x＋4cx0＝0，而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为(－，)．设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝C．设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx，由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.-10-\n所以，直线l的斜率为4＋或4－.-10-