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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第4节 椭圆(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第4节 椭圆(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第4节椭圆新人教B版一、选择题1.(文)(2022·长春模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为( )A. B. C. D.[答案] A[解析] 先将x2+4y2=1化为标准方程x2+=1,则a=1,b=,c==.离心率e==.(理)椭圆+=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2,焦距为2c.若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.[答案] A[解析] 由椭圆的定义,d1+d2=2a,又由题意得d1+d2=4c,∴2a=4c,∴e==.2.(文)已知椭圆+=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )A.4 B.5 C.7 D.8[答案] D[分析] 方程表示椭圆时,分母都大于0,又焦点在y轴上,∴y2项的分母较大,依据焦距为4列方程求解.[解析] 由题意知,m-2>10-m>0,∴6<m<10,∵焦距为4,∴c2=4,∴(m-2)-(10-m)=4,∴m=8.(理)(2022·云南省名校统考)已知k<4,则曲线+=1和+=1有( )A.相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴[答案] B-11-\n[解析] ∵k<4,∴曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆,又∵(9-k)-(4-k)=9-4=5,∴两椭圆有相同的焦点.3.(文)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[答案] D[解析] 2a=12,∴a=6,∵e==,∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选D.(理)(2022·佛山月考)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为( )A.1B. C.2D.[答案] D[解析] 由题意知,c2=a2-b2=4-1=3,点P即为圆x2+y2=3与椭圆+y2=1在第一象限的交点,解方程组得点P的横坐标为.4.(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,若△F1F2P为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为( )A.B.-1C.-1或D.[答案] C[解析] 当∠F1PF2为直角时,P为椭圆短轴端点,∴b=c,∴=,∴e=;当∠F1F2P或∠F2F1P为直角时,=2c,∴b2=2ac,∴a2-c2=2ac,∴e2+2e-1=0,∴e=-1.5.(文)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线-11-\n[答案] B[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.(理)P为椭圆+=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则·等于( )A.3B. C.2D.2[答案] D[解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,所以4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4,·=||||·cos60°=4×=2,故选D.6.(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆+=1(a>b>0)两个焦点,P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=时,△F1PF2的面积最大,则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[答案] A[解析] ∵|F1F2|为定值,∴当P在短轴端点时,S△F1PF2最大,∵∠F1PF2=,∴∠PF1F2=,∴tan=,∵c=3,∴b=,∴a2=b2+c2=12,椭圆方程为+=1.二、填空题7.(文)已知+=1(m>0,n>0),则当mn取得最小值时,椭圆+=1的离心率是________.[答案] [解析] ∵m>0,n>0∴1=+≥2,∴mn≥8,当且仅当=,即n=2m时等号成立,由解得m=2,n=4.即当m=2,n=4时,mn取得最小值8,-11-\n∴离心率e==.(理)已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2,则方程+=1表示椭圆的概率为________.[答案] [解析] 由条件≥2,∴-π≤k≤π,当0<k≤π且k≠3时,方程+=1表示椭圆,∴概率P=.8.(2022·辽宁理,15)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.[答案] 12[解析] 如图.设MN与椭圆的交点为D,由中位线定理.|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)由椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=2a=6.∴|AN|+|BN|=12.9.(2022·山东济南二模)若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出以下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②>;③a-a=b-b;④a1-a2<b1-b2.其中,所有正确结论的序号是________.[答案] ①③④[解析] 由于两椭圆焦点相同,且a1>a2,故b1>b2,因此两椭圆必无公共点,即命题①为真命题;又由于两椭圆焦点相同,a1>a2,ab=a(a-c2)<a(a-c2)=ab,故<,即命题②为假命题;由焦点相同得a-b=a-b,故a-a=b-b,即命题③为真命题;因为a-a=b-b,即(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)⇒=<1,故有a1-a2<b1-b2,即命题④为真命题,综上①③④为真命题.三、解答题-11-\n10.(文)(2022·福建四地联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx-2与椭圆C交于A、B两点,点P(0,1),且|PA|=|PB|,求直线l的方程.[解析] (1)由已知得2a=6,2c=2,解得a=3,c=,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由消去y得(1+3k2)x2-12kx+3=0,∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ=144k2-12(1+3k2)>0,解得k2>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)-4=k·-4=-,∴AB中点坐标E(,-),∵|PA|=|PB|,∴PE⊥AB,kPE·kAB=-1,∴·k=-1,解得k=±1.经检验,符合题意,所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0.(理)已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.[解析] (1)由已知得,c=2,=,解得a=2,又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=.-11-\n因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB,所以PE的斜率k==-1.解得m=2,此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=3,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.一、选择题11.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )A.至多一个B.2个C.1个D.0个[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点,∴>2,∴m2+n2<4,∴点(m,n)在圆内,又圆在椭圆内,∴点(m,n)在椭圆内,故过点(m,n)的直线与椭圆有两个交点.12.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个顶点,若2=+,则该椭圆的离心率为( )A.B. C.D.[答案] B[解析] 由2=+知F1是AF2的中点,∴a-c=2c,∴a=3c,e=.13.(2022·湖南六校联考)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则( )A.t=2B.t>2C.t<2-11-\nD.t与2的大小关系不确定[答案] A[解析] 如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a,所以t=a=2.故选A.14.(文)(2022·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连线AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e为( )A.B. C.D.[答案] A[解析] 在△ABF中,由|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,得|BF|=8,设椭圆的右焦点为E,由对称性知,|AE|=8,且△AEF为直角三角形,|EF|=10,∴2a=|AF|+|AE|=14.∴e===.(理)(2022·包头三十三中期末)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为( )A.(0,-1)B.(,1)C.(0,)D.(-1,1)[答案] D[解析] 根据正弦定理得=,所以由=可得=,即==e,所以|PF1|=e|PF2|.又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,即|PF2|=.因为a-c<|PF2|<a+c(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义),所以a-c<<a+c,即1-<<1+,所以1-e<<1+e,即所以解得e>-1.又因为e<1,所以-1<e<1,即e∈(-1,1),选D.-11-\n二、填空题15.(2022·兰州名校检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设=e,则该椭圆的离心率e=________.[答案] [解析] 因为点A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A、B的坐标分别是(-,0)、(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得因为点M在椭圆上,所以+=1,将(*)式代入,得+=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.16.直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为________.[答案] [解析] 设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,∴|AB|=|-(-)|=,∴S△ABC=|AB|·d=××=.三、解答题17.(文)(2022·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.[解析] (1)圆C方程化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心C(2,-),半径r=.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则所以-11-\n所以所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),∵|F2C|==<.∴F2在圆C内,故过F2没有圆C的切线.设l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,点C(2,-)到直线l的距离为d==,化简得5k2+4k-2=0,解得k=或k=-.故l的方程为x-5+2=0或x+y+2=0.(理)(2022·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为.(1)求椭圆Γ的标准方程;(2)若直线l:x=my+q(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点A,B,设点A关于椭圆长轴的对称点为A1,试求A1,F,B三点共线的充要条件.[解析] (1)设椭圆Γ的标准方程是+=1(a>b>0).由题意知a=2c,bc=,所以a=2,b=,椭圆Γ的标准方程是+=1.(2)联立⇒(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0,由Δ=12[3m2q2-(3m2+4)(q2-4)]=48(3m2+4-q2)>0,得3m2+4-q2>0.①记A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(x1,-y1),y1+y2=,y1y2=,因为F(1,0),所以=(x1-1,-y1),=(x2-1,y2),故A1,F,B三点共线,∴∥,∴(x1-1)y2-(x2-1)(-y1)=(my1+q-1)y2+(my2+q-1)y1=2my1y2+(q-1)(y1+y2)=2m·+(q-1)·==0⇔q=4(m≠0),②由①②知A1,F,B三点共线的充要条件是|m|>2,且q=4.18.(文)(2022·石家庄五校联考)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-,0),(,0),并且经过点(,).(1)求椭圆的标准方程;(2)若斜率为k的直线l经过点(0,-2),且与椭圆交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.-11-\n[解析] (1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由椭圆的定义可得,2a=+=2.∴a=.又c=,∴b=1,故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx-2,由消去y得,(1+3k2)x2-12kx+9=0,依题意Δ=36k2-36>0,∴k2>1,(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|=·=×,由点到直线的距离公式得d=,∴S△OAB=×××=.设=t(t>0),则k2=t2+1,∴S△OAB=6×==≤,当且仅当t=时,上式取等号,所以,△OAB面积的最大值为.(理)(2022·新课标全国Ⅰ理)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.[分析] (1)由过A(0,-2),F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c,再由e==,可求a,由b2=a2-c2可求出b2,则椭圆E的方程可求.-11-\n(2)由题意知动直线l的斜率存在,故可设其斜率为k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去y,整理成关于x的一元二次方程,利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|,利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d,则由S△OPQ=|PQ|·d,可将S△OPQ表示成关于k的函数,转化为求函数f(k)的最大值问题.注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.[解析] (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1中消去y得,(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=,从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.-11-
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高考 - 二轮专题
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