【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第1节 函数及其表示（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第1节函数及其表示新人教B版一、选择题1．(文)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是(　　)[答案]　B[解析]　函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A中x∈(0,2]时没有函数值，C中函数值不唯一，D中的值域不是N，所以选B.(理)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(　　)A．7个　　　　　　　B．8个C．9个D．10个[答案]　C[解析]　由x2＝1得x＝±1，由x2＝4得x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2，1,2}，故选C.2．(2022·绍兴一中期中)设全集U＝R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝－＋1}，则右图中阴影部分表示的集合为(　　)A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}[答案]　B[解析]　A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y<1}，阴影部分表示A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}，故选B.3．(文)已知函数f(x)＝则f(2022)等于(　　)A．－1B．1C．－3D．3[答案]　A-9-\n[解析]　f(2022)＝f(2022)＝f(2022)＝f(2022)＝……＝f(2)＝f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1.(理)(2022·湖北百所重点中学联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f(＋x)，且当0<x≤时，f(x)＝log2(3x＋1)，则f(2022)等于(　　)A．－1B．－2C．1D．2[答案]　B[解析]　由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，再由条件可得f(－x)＝f(＋x)，所以，f(3＋x)＝f(x)，所以，f(2022)＝f(671×3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选B.4．(2022·吉林市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是(　　)A．y＝()xB．y＝sinxC．y＝x3D．y＝logx[答案]　C[解析]　A、D中的函数为非奇非偶函数，B中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y＝x3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C.5．(文)(2022·银川模拟)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]　A[解析]　由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解之得－3<x<1或x>3，∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)A．(－∞，0)∪(10，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,10)D．(0,10)[答案]　A[解析]　由或⇒x0<0或x0>10.6．(2022·济宁阶段训练)设函数f(x)＝则满足f(x)＝4的x的值是(　　)A．2B．16C．2或16D．－2或16[答案]　C[解析]　当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2.当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.∴x＝2或16.故选C.二、填空题-9-\n7．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则＋＋＋…＋＋＝________.[答案]　2022[解析]　令b＝1，则＝f(1)＝1，∴＋＋＋…＋＋＝2022.8．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．[答案]　1[解析]　结合f(x)与g(x)的图象，h(x)＝易知h(x)的最大值为h(2)＝1.9．(2022·四川省内江市一模)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f(x)在R上有最小值；②当b>0时，函数在R上是单调增函数；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要条件是b2>4|c|；⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根．[答案]　②③④[解析]　f(x)＝取b＝0知，①⑤错；容易判断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c－<0且c＋>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②③④.三、解答题10．(2022·娄底市名校联考)对于函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)，解答下述问题：(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．[解析]　记u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，(1)∵u>0对x∈R恒成立，∴umin＝3－a2>0，∴－<a<，∴a的取值范围是(－，)．(2)要使f(x)的值域为(－∞，－1]，则logu∈(－∞，－1]，∴u≥2，∴3－a2≥2，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.-9-\n一、选择题11．(文)具有性质f()＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)A．①②B．①③C．②③D．只有①[答案]　B[解析]　①f()＝－x＝－f(x)满足．②f()＝＋x＝f(x)不满足．③0<x<1时，f()＝－x＝－f(x)，x＝1时，f()＝0＝－f(x)，x>1时，f()＝＝－f(x)满足．故选B.(理)(2022·淮阳中学检测)如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函．下面有4个函数：①f(x)＝1；　　②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x；　　④f(x)＝.其中有两个属于有界泛函，它们是(　　)A．①②B．②④C．①③D．③④[答案]　D[解析]　由|f(x)|≤M|x|对x∈R恒成立，知||max≤M.①中＝||∈(0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；②中＝|x|∈[0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；③中＝|sinx＋cosx|＝|sin(x＋)|≤，故存在M使不等式恒成立；④中＝＝≤，故存在M使不等式恒成立．[点评]　作为选择题判断①后即排除A、C，判断②后排除B，即可选出D.12．(文)(2022·乌鲁木齐地区诊断)若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a<b<cB．c<a<bC．c<b<aD．b<a<c-9-\n[答案]　B[解析]　解法1：－＝＝<0，∴a<b－＝＝<0，∴c<a，∴c<a<b.解法2：设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，∴>>，∴>>，∴b>a>c.(理)(2022·山东泰安期中)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]　B[解析]　y＝为增函数；y＝2x＋1为增函数；y＝log(x＋1)在定义域上为减函数；y＝|x－1|在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴满足条件的函数序号为②③.13．(文)(2022·泰安期中)若函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)[答案]　C[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴ka－x－ax＋kax－a－x＝(k－1)ax＋(k－1)a－x＝(k－1)(ax＋a－x)＝0，∵上式恒成立，∴k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，又f(x)为增函数，∴a>1，∴g(x)＝loga(x＋k)为增函数，且g(x)是由函数y＝logax的图象向左平移一个单位得到的，故选C.(理)(2022·辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象(　　)A．y＝2x－x2－1B．y＝C．y＝(x2－2x)exD．y＝-9-\n[答案]　C[解析]　由图象可知，x<0时，函数值恒大于0，排除A、B、D，故选C.14．(文)(2022·湖北教学合作十月联考)已知四个函数①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数符号正确的一组是(　　)A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①[答案]　A[解析]　①y＝xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y＝xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y＝x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x>0时，y≥0；④y＝x·2x为非奇非偶函数，且当x>0时，y>0；当x<0时，y<0，故选A.(理)(2022·吉林省九校联合体摸底)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是(　　)A．(3,7)B．(9,25)C．(13,49)D．(9,49)[答案]　C[解析]　∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，又∵y＝f(x)是增函数，∴不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0⇔f(x2－6x＋21)<f(8y－y2)⇔x2－6x＋21－8y＋y2<0⇔(x－3)2＋(y－4)2<4.即点(x，y)是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图当x>3时，点(x，y)是右半圆内部分，x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49.二、填空题15．(文)(2022·福州模拟)函数f(x)＝－的定义域为________．[答案]　(－∞，－1)∪(－1,1][解析]　∵要使函数f(x)＝－有意义，∴∴∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(理)已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈-9-\nZ)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．[答案]　5[解析]　由0≤－1≤1，即1≤≤2得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．16．(2022·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数(x)的值域为________．[答案]　[－4,6][解析]　由题意知，当x∈[－2，－1]时，1⊕x＝1,2⊕x＝2，当x∈(1,2]时，1⊕x＝x2,2⊕x＝2，∴f(x)＝当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，故当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．三、解答题17．(文)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－(60－x)2＋·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析]　在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)，前5年的利润和为×5＝(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5＝－5(x－30)2＋4950.当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为＋4950(万元)．∵＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．-9-\n(理)已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．[解析]　(1)由x＋－2>0，得>0，a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)．a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－或x>1＋}．(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－(x－)2＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a>2.18．(文)(2022·湖北武汉联考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．[解析]　(1)令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，又∵f(1)＝0，∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令x1＝x，x2＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在定义域D上为偶函数．(理)(2022·河北石家庄质检)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f(x＋)<f()；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．[解析]　(1)任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)-9-\n＝·(x1－x2)，由已知得>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴解得－≤x<－1.∴不等式的解集为{x|－≤x<－1}．(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.-9-