【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第4节 指数与指数函数（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第4节指数与指数函数新人教B版一、选择题1．(文)(2022·河南省实验中学期中)函数y＝(a2－4a＋4)·ax是指数函数，则a的值是(　　)A．4　　　　　　　　B．1或3C．3D．1[答案]　C[解析]　由条件知∴a＝3.(理)(2022·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)A．y＝　　　　B．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log2(2x)[答案]　A[解析]　f(x)＝ax－1的图象过定点(1,1)，在函数y＝中当x＝1时，y＝0，故选A.2．(文)(2022·西安模拟)函数f(x)＝的图象(　　)A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称[答案]　D[解析]　∵f(x)＝ex＋e－x，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选D.(理)(2022·东营质检)函数y＝3x与y＝－3－x的图象关于(　　)对称．(　　)A．x轴B．y轴C．直线y＝xD．原点[答案]　D[解析]　∵y＝－3－x，即－y＝3－x，将x用－x替换，y用－y替换，即得y＝3x，∴选D.3．(2022·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)A．f(－4)>f(1)B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1)D．不能确定[答案]　A[解析]　由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝ax的单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．4．(2022·陕西理，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)A．f(x)＝xB．f(x)＝x3C．f(x)＝()xD．f(x)＝3x[答案]　D[解析]　由于ax·ay＝ax＋y，所以指数函数f(x)＝ax满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减，所以f(x)＝3x满足题意．-9-\n5．(2022·新泰摸底)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(4)＝－3，则a的值为(　　)A.B．3C．9D．[答案]　A[解析]　∵f(4)＝f(log2)＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝±，又a>0，∴a＝.6．(文)(2022·山东师大附中模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　)[答案]　B[解析]　由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象知f(x)为减函数，∴0<a<1，再由图象平移的知识知，0<b<1，故y＝g(x)单调递减，g(0)＝b＋1>1，故选B.(理)(2022·山师大附中期中)已知a>0，a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)[答案]　C-9-\n[解析]　函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，排除B；a>1时，y＝x＋a与y轴交点在点(0,1)上方，排除A；0<a<1时，y＝x＋a与y轴交点在点(0,1)下方，排除D，故选C.二、填空题7．如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x2，则h(3)的值等于________．[答案]　9[解析]　由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,9>8，∴h(3)＝9.8．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．[答案]　[－3,1][解析]　f(x)的图象如图．|f(x)|≥⇒f(x)≥或f(x)≤－.∴x≥或≤－∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．9．(2022·河南省实验中学期中)如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝()x的图象关于直线y＝x对称，则f(3x－x2)的单调递减区间是________．[答案]　(0，][解析]　由条件知f(x)为g(x)的反函数，∴f(x)＝x，∴y＝f(3x－x2)＝(3x－x2)，由3x－x2>0得0<x<3，又二次函数u＝－x2＋3x的对称轴为x＝，∴函数的单调递减区间为(0，]．三、解答题10．(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.-9-\n(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．[解析]　(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，∴f(－x)＝＝，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)在(－1,1)上的解析式为f(x)＝(2)当x∈(0,1)时，f(x)＝.设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上是减函数．(理)(2022·吉安一中月考)设函数f(x)＝1＋ax＋ma2x，其中a>0且a≠1，m∈R.(1)若a＝，m＝1，请用定义证明f(x)单调递减；(2)若a＝2，∀x≤1恒有f(x)>0，求m的取值范围．[解析]　(1)由条件知f(x)＝1＋()x＋()2x，设x1、x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝()x1－()x2＋()x1－()x2＝()x1[1－()x2－x1]＋()x1[1－()x2－x1]，∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴()x2－x1<1，()x2－x1<1，∴1－()x2－x1>0,1－()x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上为单调递减函数．(2)a＝2时，f(x)＝1＋2x＋m·4x，∵x≤1，∴0<2x≤2，∴()x≥，f(x)>0，即1＋2x＋m·4x>0，-9-\n∴m>－＝－()2x－()x，令t＝()x，则t≥，由条件知m>－t2－t(t≥)恒成立，∵t≥时，－t2－t＝－(t＋)2＋≤－，∴m>－.一、选择题11．(文)(2022·湖北黄石一模)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－]∪(1，]B．[－，－1)∪[，＋∞)C．(1，]D．[，＋∞)[答案]　A[解析]　由题意得或解得1<a≤或a≤－，故选A.(理)(2022·安徽省示范高中第一次联考)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)A．(0，]B．(0，]C．(0,1)D．(0,2][答案]　B[解析]　由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得解得0<a≤.[易错警示]　本题考查的是分段函数在R上的单调性，要注意本题需满足a0－2≤－3a.12．(文)(2022·江西适应性考试)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]B．[－3,0)C．[－3，－1]D．{－3}[答案]　B[解析]　当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈[－()a，－1)，所以[－，－1)[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.(理)(2022·天津模拟)设函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则常数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．[－2,1][答案]　A[解析]　∵x>2时，f(x)＝2x＋a>a＋4，x≤2时，f(x)＝x＋a2≤a2＋2，欲使f(x)的值域为R，应有a2＋2≥a＋4，即a2－a－2≥0，∴a≤－1或a≥2，故选A.13．(2022·湖北荆门月考)已知a>b>1,0<x<1，以下结论中成立的是(　　)-9-\nA．()x>()xB．xa>xbC．logxa>logxbD．logax>logbx[答案]　D[解析]　∵a>b>1,0<x<1，∴0<<<1，∴()x<()x，故A不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb，故B不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴logxa<logxb，故C不成立；∵logxa<logxb<0，∴logax>logbx，故D成立，故选D.14．(文)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系内的图象大致是(　　)[答案]　C[分析]　函数f(x)＝1＋log2x的图象可由函数y＝log2x的图象变换得到；函数y＝2－x＋1可由函数y＝()x的图象变换得到．[解析]　f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)＝2－x＋1＝()x－1的图象可由y＝()x的图象向右平移一个单位长度得到．[点评]　幂、指数、对数函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．(理)(2022·山东德州期末)函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是(　　)-9-\n[答案]　D[解析]　因为y＝＝且0<a<1，所以根据指数函数的图象和性质，当x∈(0，＋∞)时，函数为减函数，图象下降；当x∈(－∞，0)时，函数是增函数，图象上升，故选D.15．(2022·濉溪县月考)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，＋＝.若有穷数列{}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn>2022的最小正整数n等于(　　)A．7　　B．8　　　　C．9　　D．10[答案]　D[分析]　观察题中各条件可以发现，令F(x)＝，则易知F′(x)>0，F(1)＋F(－1)＝，问题即讨论数列{an}的前n项和Sn>2022在n取何值时开始成立．[解析]　令F(x)＝，则F(x)＝ax，F′(x)＝[f′(x)g(x)－f(x)g′(x)]>0，∴F(x)为增函数，∴a>1.又F(1)＋F(－1)＝，∴a＋＝，解之得a＝2，∴F(x)＝2x，F(n)＝＝2n.由条件知>2022，即2n＋1>2022，∴n≥10，故选D.二、填空题16．(文)(2022·北京市房山区一模)设f(x)是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和的取值范围是________．[答案]　[，1)[解析]　∵对任意x、y∈R都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，∴f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝f3(1)，易知f(n)＝fn(1)，∵a1＝，an＝f(n)，∴an＝()n，∴数列{an}的前n项和Sn＝＝1－()n∈[，1)．(理)(2022·湖南)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；-9-\n(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.[答案]　(1){x|0<x≤1}　(2)①②③[解析]　(1)∵c>a>0，c>b>0，a＝b，且a、b、c不能构成三角形的三边，∴0<a＋a≤c，∴≥2，令f(x)＝0得，ax＋bx＝cx，∵a＝b，∴2ax＝cx，∴()x＝2，∴x＝log2，∴＝log2≥1，∴0<x≤1.(2)①∵a、b、c是三角形的三边长，∴a＋b>c，∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1，∴当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cx[()x＋()x－1]>cx(＋－1)＝>0，∴①正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c构成三角形的三边长，取x＝2，则a2、b2、c2不能构成三角形的三边长，故②正确；③∵c>a，c>b，△ABC为钝角三角形，∴a2＋b2－c2<0，又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，∴函数f(x)在(1,2)上存在零点，③正确．17．(2022·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.[答案]　①③④[解析]　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①对；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②错；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③对；当0<a<1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④对；当a>1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤错．综上，真命题是①③④.三、解答题18．(文)(2022·山东聊城一模)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.(1)k＝1时，求F(x)的值域；(2)试讨论函数F(x)的单调性．[解析]　(1)k＝1时，F(x)＝f(x)＋x＝可以证明F(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增，又f(0)＝1，f(1)＝2，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)＋kx＝-9-\n若k＝0，则F(x)在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增；若k>0，则F(x)在(0，]上递减，在(，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递增．若k<0，则F(x)在(0，＋∞)上递减．当x≤0时，F′(x)＝ex＋k，若F′(x)>0，则x>ln(－k)，若F′(x)<0，则x<ln(－k)．若k≤－1，－k≥1，则F(x)在(－∞，0]上递减，若－1<k<0,0<－k<1，则F(x)在(－∞，ln(－k))上递减，在(ln(－k)，0)上递增．(理)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·x＋x.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝1＋x＋x.因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立．所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．∴－3≤f(x)≤3，即－4－x≤a·x≤2－x，∴－4·2x－x≤a≤2·2x－x在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝>0p(t1)－p(t2)＝<0所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．-9-