【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第5节 指数与指数函数（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第5节指数与指数函数北师大版一、选择题1．(文)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝()x的图像之间的关系是(　　)A．关于y轴对称　B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[答案]　A[解析]　∵y＝()x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．(理)(2022·东营质检)函数y＝3x与y＝－3－x的图像的对称图形为(　　)A．x轴　B．y轴C．直线y＝xD．原点[答案]　D[解析]　由y＝－3－x得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)A．a＝1或a＝2　B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1[答案]　C[解析]　由已知，得即∴a＝2.3．(文)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)A．y3>y1>y2　B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2[答案]　D[解析]　y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在R上是单调递增函数，∴y1>y3>y2.(理)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　)A．f(－2)>f(－1)　B．f(－1)>f(－2)C．f(1)>f(2)D．f(－2)>f(2)[答案]　A[解析]　∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，-8-\n∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝()－|x|＝2|x|，∴f(－2)>f(－1)，故选A．4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，2]　B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]　B[解析]　∵f(1)＝，∴a2＝，∵a>0且a≠1，∴a＝，∴f(x)＝()|2x－4|，∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝()t为减函数，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝(　　)A．5　B．7C．9D．11[答案]　B[解析]　∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.6．(文)给出下列结论：①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|(n>1，n∈N＋，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；④若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.其中正确的是(　　)A．①②　B．②③C．③④D．②④[答案]　B-8-\n[解析]　∵a<0时，(a2)>0，a3<0，∴①错；②显然正确；解，得x≥2且x≠，∴③正确，∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．(理)已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝B．其中不可能成立的关系式有(　　)A．1个　B．2个C．3个D．4个[答案]　B[解析]　作y＝x，y＝x的图像，如图当x<0时，a＝b，则有a<b<0；当x>0时，a＝b，则有0<b<a；当x＝0时，a＝b，则有a＝b＝0.故不可能成立的是③④.二、填空题7．(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0＝________.[答案]　－19[解析]　原式＝()－－＋1＝500－10(＋2)＋1-8-\n＝10－10－20＋1＝－19.8．(2022·襄樊调研)已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．[答案]　(1，＋∞)[解析]　如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)图像只有一个公共点．∵y＝ax＋1>1，∴m>1.∴m的取值范围是(1，＋∞)．9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a＝________.[答案]　[解析]　当a>1时，f(x)为增函数，则即∴a＝.当0<a<1时，f(x)为减函数，∴∴无解．综上，a＝.三、解答题10．(文)设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．(1)证明：对于任意实数a，f(x)在R上为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．[解析]　(1)证明：设x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝.又由指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2，所以2x1<2x2，即2x1－2x2<0，又由2x>0，得2x1＋1>0,2x2＋1>0，所以，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R上为增函数．(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即a－＝－(a－)，变形得2a＝＋＝，解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．-8-\n(理)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即＋＝＋恒成立．整理，得(a2－1)(e2x－1)＝0对任意实数x恒成立，故a2－1＝0.又∵a>0，∴a＝1.(2)证明：在(0，＋∞)任意取x1，x2，设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex2－ex1＋－＝(ex2－ex1)＝ex1(ex2－x1－1)·，由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(x)＝2，得ex＋＝2，即e2x－2ex＋1＝0.∴ex＝1＝e0.∴x＝0.故方程f(x)＝2的根为x＝0.一、选择题1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为(　　)A．{x|x<－1或x>－lg2}　　B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}　D．{x|x<－lg2}[答案]　D[解析]　由条件知f(x)>0的解集为{x|－1<x<}，又已知f(10x)>0，∴－1<10x<，∴x<－lg2.2．(2022·忻州联考)已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　)-8-\nA．(0，)∪[2，＋∞)　B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2]D．(0，)∪[4，＋∞)[答案]　C[解析]　由x2－ax<得ax>x2－，设函数y1＝ax，y2＝x2－，分别作出它们的图像，如图，由图易知，当0<a<1时，若x∈(－1,1)时均有ax>x2－，则x＝1时，a1≥12－＝，反之亦成立，同理，a>1时，可得1<a≤2.二、填空题3．(文)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．[答案]　m<n[解析]　a＝∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减，由f(m)>f(n)得m<n.(理)已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．[答案]　m>n[解析]　∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)得m>n.4．(文)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．[答案]　(1，＋∞)[解析]　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0<a<1，显然y＝ax与y＝x＋a的图像只有一个公共点；若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图像如图所示．(理)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a-8-\n的取值范围是________．[答案]　[解析]　数形结合．　由图可知0<2a<1，∴0<a<.三、解答题5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.[分析]　(1)→→.(2)→→→[解析]　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a，b的值分别为2,1.(2)解法1：由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.-8-\n解法2：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得＋<0，即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.6．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．[解析]　(1)因为f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，所以3a＋2＝18⇒3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－2＋.当x∈[－1,1]时，2x∈，令t＝2x，所以y＝－t2＋t＝－2＋.故当t∈时，y＝－t2＋t＝－2＋是减少的，又t＝2x在[－1,1]上是增加的，所以g(x)在[－1,1]上是减少的．(3)因为方程g(x)＝m有解，即m＝2x－4x在[－1,1]内有解．由(2)知g(x)＝2x－4x在[－1,1]上是减少的，所以－2≤m≤，故m的取值范围是.-8-