【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第2节 排列与组合 理(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第2节排列与组合(理)北师大版一、选择题1.(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种[答案] C[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算,从6名男医生中选2人有C=15种选法,从5名女医生选1人有C=5种选法,所以由分步乘法计数原理可知共有15×5=75种不同的选法.2.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A.12种B.24种C.30种D.36种[答案] B[解析] 先从4人中选2人选修甲课程,有C种方法,剩余2人再选修剩下的2门课程,有22种方法,∴共有C×22=24种方法.3.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A.36种B.42种C.48种D.54种[答案] B[解析] 分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位;中间4个节目无限制条件,有A种排法;第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有C种排法,其他3个节目有A种排法,故有CA种排法.依分类加法计数原理,知共有A+CA=42(种)编排方案.4.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9![答案] C[解析] 本题考查捆绑法排列问题.-5-\n由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法有3!种,三个家庭即(3!)3种,三个家庭又可全排列,因此共(3!)4种.5.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A.AAB.ACC.AAD.AC[答案] A[解析] 不相邻问题用插空法,8名学生先排有A种,产生9个空,2位老师插空有A种排法,所以最终有A·A种排法.故选A.6.(2022·福州质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A.16种B.36种C.42种D.60种[答案] D[解析] 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市一项,共A种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市一项、一个城市两项共CA种方法,由分类计数原理知共A+CA=60种方法.二、填空题7.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答).[答案] 48[解析] 选1名老队员,则有C·C·A=36种;选2名老队员,则有C·C·C·A=12种.共有36+12=48(种).8.有5名男生3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有________种(用数字作答).[答案] 840[解析] 由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有A=840(种).9.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为________.[答案] 180[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识.由题意知可分为两类,1)选“0”,共有CCCA=108个,2)不选“0”,共有CA=72个,∴由分类加法计数原理得72+108=180.-5-\n三、解答题10.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种方法?[解析] (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有CCC×A=144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组有·A种方法,故共有C(CCA+·A)=84(种).一、选择题1.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.484[答案] C[解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题.C-4C-CC=-16-72=560-88=472.另解:CC-3C+CC=-12+4×=220+264-12=472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合,做到不漏不重.2.(2022·四川高考)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种[答案] B-5-\n[解析] 分两类:最左端排甲有A=120种不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在最右端,所以有CA=96种不同的排法,由加法原理可得满足条件的排法共有120+96=216种.二、填空题3.在连续自然数100,101,102,…,999中,对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有________个.[答案] 91[解析] 分两类:①递减时,若有0,则0在个位,符合要求,从10个数字中选3个不相邻数字,相当于从10个位置中选3个不相邻的位置,故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中,故不同的情况共有C种;②递增时,不能有0,则应从1到9的9个数字中,选3个不相邻的数字,同①有C种,故所求的三位数有:C+C=91(个).4.(2022·北京高考)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.[答案] 36[解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识.先只考虑A与产品B相邻,此时用捆绑法,将A和B作为一个元素考虑,共有A=24种方法,而A和B有2种摆放顺序,故总计24×2=48种方法,再排除既满足A和B相邻,又满足A与C相邻的情况,此时用捆绑法,将A、B、C作为一个元素考虑,共有A=6种方法,而A、B、C有2种可能的摆放顺序,故总计6×2=12种方法.综上,符合题意的摆放共有48-12=36种.三、解答题5.在10名演员中,5人能歌,8人善舞,从中选出5人,使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目,共有几种选法?[解析] 本题中的“双面手”有3人,仅能歌的2人,仅善舞的5人.把问题分为:(1)独唱演员从双面手中选,剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔;(2)独唱演员不从双面手中选拔,即从只能唱歌的2人中选拔,这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔.故选法种数是CC+CC=245.6.已知10件不同的产品中有4件次品,现对它们一一测试,直到找到所有4件次品为止.(1)若恰在第2次测试时,才测试到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品,则共有多少种不同的测试方法?[解析] (1)若恰在第2次测试时,才测到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,若是不放回的逐个抽取测试.第2次测到第一件次品有4种抽法;-5-\n第8次测到最后一件次品有3种抽法;第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A种抽法;剩余4次抽到的是正品,共有AAA=86400种抽法.(2)检测4次可测出4件次品,不同的测试方法有A种,检测5次可测出4件次品,不同的测试方法有4AA种;检测6次测出4件次品或6件正品,则不同的测试方法共有4AA+A种.由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为A+4AA+4AA+A=8520.-5-
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