【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第4节定积分与微积分基本定理(理)北师大版一、选择题1．设f(x)＝，则f(x)dx的值是(　　)A．x2dx　B．2xdxC．x2dx＋2xdx　D．2xdx＋x2dx[答案]　D[解析]　由分段函数的积分公式知选D．2．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个4s内经过的路程是(　　)A．249m　B．261.2mC．310.3m　D．450m[答案]　B[解析]　所求路程为(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．3．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1<S2<S3　B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1　D．S3<S2<S1[答案]　B[解析]　S1＝x2dx＝|＝.S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B．4．(2022·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)A．2　B．4C．2　D．4[答案]　D-6-\n[解析]　如图所示由解得或∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　由得交点坐标为(0,0)，(1,1)．因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx＝＝.6.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是＝＝.二、填空题7.|x＋2|dx＝________.-6-\n[答案]　[解析]　原式＝(－x－2)dx＋(x＋2)dx＝.8．(2022·皖南八校联考)dx＝________.[答案]　[解析]　dx表示圆x2＋y2＝a2在第二象限的面积，为.9．(2022·江西七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝dx(n∈N*)，则S100＝________.[答案]　ln101[解析]　依题意，an＝lnx|＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.三、解答题10．求下列定积分：(1)(x2－x)dx；(4)设f(x)＝，求f(x)dx.[解析]　(1)(x2－x)dx＝＝－.(3)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈∵f(x)在上为奇函数，-6-\n(4)f(x)dx＝－1x2dx＋(cosx－1)dx＝x3|＋(sinx－x)|＝sin1－.一、选择题1．与定积分dx相等的是(　　)A．sindx　B．|sin|dxC．|sindx|　D．以上结论都不对[答案]　B[解析]　∵1－cosx＝2sin2，∴dx＝|sin|dx＝|sin|dx.2．(2022·江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)A．－1　B．－C．　D．1[答案]　B[解析]　本题考查定积分的求法．根据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－.二、填空题3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.[答案]　－1或[解析]　f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4＝2f(a)．f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或.-6-\n4．(2022·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}(x≥0)，那么由函数y＝f(x)的图像、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________．[答案]　[解析]　如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积.三、解答题5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c　(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋B．由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)．若直线l1，l2与函数f(x)的图像以及l2，y轴与函数f(x)的图像所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．[解析]　(1)由图形可知二次函数的图像过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则解得(2)由(1)，得f(x)＝－x2＋8x，由得x2－8x－t(t－8)＝0，∴x1＝t，x2＝8－t.∵0≤t≤2，-6-\n∴直线l2与f(x)的图像的交点坐标为(t，－t2＋8t)．由定积分的几何意义知：S(t)＝[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx＝[(－t2＋8t)x－(－＋4x2)]|＋[(－＋4x2)－(－t2＋8t)x]|＝－t3＋10t2－16t＋.所以S(t)＝－t3＋10t2－16t＋(0≤t≤2)．-6-