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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基本定理 理(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基本定理 理(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第4节定积分与微积分基本定理(理)新人教B版一、选择题1.(2022·烟台市期中)若a=sinxdx,b=cosxdx,则a与b的关系是( )A.a<bB.a>bC.a=bD.a+b=0[答案] A[解析] 解法一:如图知,y=sinx与y=cosx的交点为(,),由对称性及定积分的几何意义知a<b.解法二:a=sinxdx=(-cosx)=cos1,b=cosxdx=sinx|=sin1,∵1>,∴cos1<sin1,∴a<b.2.(2022·石家庄五校联合体摸底)计算(1-cosx)dx=( )A.π+2B.π-2C.πD.-2[答案] B[解析] (1-cosx)dx=(x-sinx)=(-sin)-[--sin(-)]=π-2.3.(2022·北京朝阳区期中)曲线y=与直线x=1,x=e2及x轴所围成的图形的面积是( )A.e2B.e2-1C.eD.2[答案] D[解析] 所求面积4.(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=3f(x0),则x0=( )-6-\nA.±1B.C.±D.2[答案] C[解析] 因为f(x)dx=(ax2+b)dx=(ax3+bx)|=9a+3b,3f(x0)=3ax+3b,所以9a+3b=3ax+3b,所以x=3,x0=±,故选C.5.(2022·广东深圳调研)如图所示,在矩形OABC内:记抛物线y=x2+1与直线y=x+1围成的区域为M(图中阴影部分).随机往矩形OABC内投一点P,则点P落在区域M内的概率是( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 根据定积分知识可得阴影部分面积S=[(x+1)-(x2+1)]dx=,点落在区域内的概率为面积型几何概型,所以由几何概型的概率计算公式得P==,故选B.6.(2022·广东中山实验高中段考)已知函数f(x)=,则∫-1f(x)dx=( )A.B.1C.2D.[答案] A7.dx=( )A.4πB.2πC.πD.[答案] C[解析] 令y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,∴S=×π×22=π.-6-\n8.已知等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,函数f(x)=dt,若f(x)<a3,则x的取值范围是( )A.B.(0,e21)C.(e-11,e)D.(0,e11)[答案] D[解析] f(x)=dt=lnt|=lnx,a3=S3-S2=21-10=11,由lnx<11得,0<x<e11.二、填空题9.(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)=ex2+aex图象上点(1,f(1))处切线的斜率为e,则f(x)dx=________.[答案] 1-e[解析] f′(x)|x=1=(2ex+aex)|x=1=2e+ae=e⇒a=-1,则(ex2-ex)dx=(ex3-ex)|=1-e.10.(2022·山西大学附中月考)如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率为________.[答案] [解析] 圆的面积S=π3,区域M的面积S′=2sinxdx=2(-cosx)=2(-cosπ+cos0)=4,故所求概率P=.一、选择题11.(2022·河源龙川一中月考)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )-6-\nA. B. C. D.[答案] D[解析] 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx=(x-x3)|=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.12.(2022·抚顺六校联合体期中)设(+x2)3的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与直线y=x2围成图形的面积为( )A.B.9C.D.[答案] C[解析] (+x2)3,即(x2+)3的通项Tr+1=C(x2)3-r()r=Cx6-3r,令6-3r=0,得r=2,∴常数项为3.则直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为S=(3x-x2)dx=(x2-x3)|=.故选C.13.若函数f(x)=的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a,则a的值为( )A.B.C.1D.[答案] D[解析] 由图可知a=+cosxdx=+sinx=.-6-\n14.(2022·遵义航天中学二模)在由y=0,y=1,x=0,x=π四条直线围成的区域内任取一点,这点没有落在y=sinx和x轴围成区域内的概率是( )A.1-B.C.D.[答案] A[解析] 四条直线围成区域的面积S=π,其中曲线y=sinx与x轴围成区域的面积S1=sinxdx=(-cosx)|=2,∴所求概率P==,故选A.15.(2022·莆田市仙游一中期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]的正交函数的组数是( )A.0 B.1 C.2 D.3[答案] C[解析] ①sinxcosxdx=sinxdx=(-cosx)|=0,∴①中f(x)与g(x)为正交函数;②(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=(x3-x)|=-,∴②中f(x)与g(x)不是正交函数;③(x·x2)dx=x3dx=(x4)|=0,∴③中f(x)与g(x)为正交函数.二、填空题16.(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a=(sinx-cosx)dx,则二项式(-)8展开式中的常数项是________.(用数字作答)[答案] 1120[解析] a=(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)=-2,∴二项式(-)8=(+)8,∴Tr+1=C()8-r()r=2rCx4-r,令4-r=0,∴r=4∴常数项为24×C=16×70=1120.三、解答题17.已知函数f(x)=ex-1,直线l1:x=1,l2:y=et-1(t为常数,且0≤t≤1).直线l1,l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用S2表示.直线l2,y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中-6-\n区域Ⅰ所示,其面积用S1表示.当t变化时,阴影部分的面积的最小值为________.[答案] (-1)2[解析] 由题意得S1+S2=(et-1-ex+1)dx+(ex-1-et+1)dx=(et-ex)dx+(ex-et)dx=(xet-ex)|+(ex-xet)|=(2t-3)et+e+1,令g(t)=(2t-3)et+e+1(0≤t≤1),则g′(t)=2et+(2t-3)et=(2t-1)et,令g′(t)=0,得t=,∴当t∈[0,)时,g′(t)<0,g(t)是减函数,当t∈(,1]时,g′(t)>0,g(t)是增函数,因此g(t)的最小值为g()=e+1-2e=(-1)2.故阴影部分的面积的最小值为(-1)2.-6-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:58
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