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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第2章 第13节 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课时作业 理

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课时作业(十六) 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题1.(2015·四平模拟)已知函数f(x)=则f(x)dx的值为(  )A.B.4C.6D.答案:D解析:f(x)dx=x2dx+(x+1)dx=x3+=+=.故应选D.2.(2015·江西红色六校联考二)若f(x)=则f(2014)=(  )A.B.C.D.答案:C解析:f(2014)=f(2014-5×402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+cos3tdt.∵cos3tdt=cos3td(3t)=sin3t==,∴f(2014)=2-1+=.故应选C.3.若P=sinxdx,Q=(-cosx)dx,R=dx,则P,Q,R的大小关系是(  )A.P=Q>R  B.P=Q<RC.P>Q>R  D.P<Q<R6\n答案:A解析:P=sinxdx=-cosx=-cosπ+cos=1,Q=(-cosx)dx=-sinx=-sinπ+sin=1,R=dx=lnx=lnπ-ln=ln2<1,所以P=Q>R.故应选A.4.若dx=3+ln2(a>1),则a的值为(  )A.2B.3C.4D.6答案:A解析:∵dx=(x2+lnx)=a2+lna-1-0=3+ln2,∴a=2.故应选A.5.(2014·湖北)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(  )A.0B.1C.2D.3答案:C解析:对于①,sinxcosxdx=sinxdx=0,所以①是一组正交函数;对于②,-1(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx≠0,所以②不是一组正交函数;对于③,x·x2dx=x3dx=0,所以③是一组正交函数,故应选C.6.(2013·江西)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为(  )A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S16\n答案:B解析:S1=x3=,S2=lnx=ln2,S3=ex=e2-e.∵ln2<1<,e2-e=e(e-1)>e>,故S2<S1<S3,故应选B.7.(2015·重庆七校联盟联考)若f(x)=则f(2016)等于(  )A.0  B.ln2C.1+e2  D.1+ln2答案:D解析:f(2016)=f(0)=e0+(ln2-ln1)=1+ln2.故应选D.8.记曲线y=与x轴所围的区域为D,若曲线y=ax(x-2)(a<0)把D的面积均分为两等份,则a的值为(  )A.-  B.-C.-  D.-答案:B解析:易知D表示半圆面,其面积为,所以ax(x-2)dx=a=×,解得a=-,故应选B.9.如图,由曲线y=x2和直线y=t2(0<t<1),x=1,x=0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是(  )A.B.C.1D.2答案:A解析:设图中阴影部分的面积为S(t),则S(t)=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=t3-t2+.由S′(t)=2t(2t-1)=0,得t=为S(t)在区间(0,1)上的最小值点,此时S(t)min=S=.故应选A.二、填空题10.(2015·河北教学质量监测)已知函数f(x)=则f(x)dx=________.6\n答案:+1解析:由已知,得f(x)dx=sinxdx+dx=(-cosx)+=+1.11.(2015·济南模拟)由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积为________.答案:解析:由x2-1=0得抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0),作出图象如图,因此所求图形的面积为S=|x2-1|dx+(x2-1)dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=+=-+-=.12.已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________.答案:解析:由题意,f(x)=则xf(x)=∴xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx+(-10x2+10x)dx=x3+=×+-=.6\n13.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min,则由函数f(x)的图象,x轴与直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为________.答案:+ln2解析:作出图象后用定积分求面积.围成封闭图形如图中阴影部分,14.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2,若S1=S2,则点P的坐标为________.答案:解析:易知直线OP斜率存在,设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x0,y0),则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,即=,即kx-x=-2k-,解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为.三、解答题6\n15.如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解:由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.设两切线相交于点M,由消去y,得x=,即点M的横坐标为.在区间上,曲线y=4x-3在曲线y=-x2+4x-3的上方;在区间上,曲线y=-2x+6在曲线y=-x2+4x-3的上方.因此,所求的图形的面积是S=[(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx=x2dx+(x2-6x+9)dx=+=.16.列车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?解:a=-0.4m/s2,v0=72km/h=20m/s.设ts后的速度为v,则v=20-0.4t.令v=0,即20-0.4t=0,得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s,则s=vdt=(20-0.4t)dt=(20t-0.2t2)=20×50-0.2×502=500(m),即列车应在进站前50s,以及离车站500m处开始制动.6

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发布时间:2022-08-25 17:45:15 页数:6
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文章作者:U-336598

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