活页作业 定积分与微积分基本定理及其应用一、选择题1．(2022·丹东模拟)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )A．±1 B. C．± D．2解析：f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝|＝9a＋3b＝3f(x0)．∴f(x0)＝3a＋b＝ax＋b，∴x＝3，∴x0＝±.答案：C2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于( )3．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于( )A．2 B．1 C．3 D．4解析：由消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为(kx－x2)dx＝kx2－x3＝.即k3－k3＝，解得k＝3.答案：C4．函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )A. B．1 4\nC．4 D.解析：由该分段函数的图象可知S＝(x＋2)dx＋02cosxdx＝＋2sinx0＝2＋2＝4.答案：C5．(2022·福州模拟)已知a∈，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a的值为( )A. B. C. D.解析：(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝sina＋cosa－1＝sin－1，∵a∈，∴当a＝时，cos－1取最大值．答案：B6．(金榜预测)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为( )A. B. C. D.解析：由定积分知识可知：S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝(t2x－x3)＋＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)，4\n∴S′＝4t2－2t，∴t＝0(舍去)或t＝.由题意知，当t＝时S有最小值，且Smin＝S＝.答案：D二、填空题7．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．解析：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋lnx＝＋lne＝.答案：8．(2022·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：求曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积，即：dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.答案：9．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得＝a＋b＝5，①由xf(x)dx＝得(ax2＋bx)dx＝，即＝，∴a＋b＝，②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，于是dx＝dx＝dx＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.4\n答案：4＋3ln2三、解答题10．(2022·汕头模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a，b的值；(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．4
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