2023高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用第4节定积分与微积分基本定理教师用书教案理新人教版202303081214

　定积分与微积分基本定理[考试要求]　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝．在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝f(x)dxS＝－f(x)dxS＝f(x)dx－f(x)dxS＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx2.定积分的性质\n(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．[常用结论]一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图象，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×二、教材习题衍生1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)A．10tB．5tC.tD.t\n2．＝________.1　＝________.3．　表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积，,∴dx＝.]4.曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．　[如图，阴影部分的面积即为所求．考点一　定积分的计算　计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．\n1．计算dx的值为(　　)A.B.＋ln2C.＋ln2D．3＋ln22．3．点评：运用微积分基本定理求定积分时的四个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．\n(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．考点二　定积分的几何意义　(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案．　利用定积分的几何意义计算定积分[典例1－1]　(1)计算：dx＝________.(2)若dx＝，则m＝________.(1)π　(2)－1　[(1)由定积分的几何意义知，dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积∴dx＝×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]点评：正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．　求平面图形的面积[典例1－2]　由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．4－ln3　[由xy＝1，y＝3，,可得A.由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，由y＝x，y＝3，得C(3,3)，\n由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为[逆向问题]　已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.2　[由得或则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为点评：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[跟进训练]曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________．　[如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为考点三　定积分在物理中的应用　定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻\nt＝a到t＝b所经过的路程s＝(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝[典例2]　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)A．1＋25ln5　　　　　　B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)A.JB.JC.JD．2J(1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，在此期间行驶的距离为(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos30°，故F(x)做的功为点评：(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算．(2)如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤\n0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝[跟进训练]物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m．130　[设A追上B时，所用的时间为t0，