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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第三篇 第4讲 定积分与微积分基本定理 理 湘教版

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第4讲定积分与微积分基本定理A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)1.(2022·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则-6f(x)dx等于(  ).A.0B.4C.8D.16解析 因为f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,所以-6f(x)dx=2f(x)dx=8×2=16.答案 D2.(2022·垫江模拟)已知f(x)=2-|x|,则-1f(x)dx等于(  ).A.3B.4C.D.解析 f(x)=2-|x|=∴-1f(x)dx=-1(2+x)dx+(2-x)dx=+=+2=.答案 C3.函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(  ).A.B.C.2D.解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数,且对称轴为x=-1,开口方向向上.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),由f(0)=0,得c=0.f′(x)=2ax+b,因过点(-1,0)与(0,2),则有∴∴f(x)=x2+2x,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S=-2(-x2-2x)dx==×(-2)3+(-2)2=.答案 B4.若dx=3+ln2(a>1),则a的值是(  ).A.2B.3C.4D.66\n解析 dx=(x2+lnx)=a2+lna-1=3+ln2,即a=2.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t=________.解析 (2x-1)dx=(x2-x)=t2-t=6,解得t=3(t=-2舍去).答案 36.(2022·山东)设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.解析 S=dx==a=a2,∴a=.答案 三、解答题(共25分)7.(12分)已知f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求dx的值.解 ∵f(x)是一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(x)dx=(ax+b)dx==a+b.∴a+b=5.①又xf(x)dx=x(ax+b)dx==a+b.∴a+b=.②解①②得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,∴dx=dx=dx=(4x+3lnx)=4+3ln2.8.(13分)如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x26\n=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==.又抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=∫(x-x2-kx)dx==(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.6\nB级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为(  ).A.B.C.D.解析 在直角坐标系内,画出曲线和直线围成的封闭图形,如图所示,由x2+2x=x,解得两个交点坐标为(-1,-1)和(0,0),封闭图形的面积为S=-1[x-(x2+2x)]dx==--=.答案 A2.(2022·郑州质检)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是(  ).A.B.C.D.解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx==,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知f(x)=若f(x)dx=(k<2).则k=________.解析 f(x)dx=(2x+1)dx+(1+x2)dx=,所以得到k2+k=0,即k=0或k=-1.答案 0或-16\n4.设f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1且f(-x)dx=m,则12展开式中各项的系数和为________.解析 因为f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1.故n=2,a=1.所以f(-x)dx=(x2-x)dx===m所以12展开式中各项的系数和为12=1.答案 1三、解答题(共25分)5.(12分)已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2,(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得即∴f(x)=ax2+2-a.又f(x)dx=(ax2+2-a)dx==2-a=-2,∴a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].∴当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2.6.(13分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.6\n所以阴影部分面积S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).令S′(t)=4t2-2t=4t=0时,得t=0或t=.t=0时,S=;t=时,S=;t=1时,S=.所以当t=时,S最小,且最小值为.6

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发布时间:2022-08-26 00:38:53 页数:6
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文章作者:U-336598

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