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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第8节 函数与方程(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第8节 函数与方程(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第8节函数与方程北师大版一、选择题1.已知函数f(x)=x3-2x2+2有唯一零点,则下列区间上必存在零点的是( )A.(-2,-) B.(-,-1)C.(-1,-)D.(,0)[答案] C[解析] 由题意,可知f(-1)·f(-)<0,故f(x)在(-1,-)上必存在零点,故选C.2.函数f(x)=x3-3x+2的零点为( )A.1,2 B.±1,-2C.1,-2D.±1,2[答案] C[解析] 由f(x)=x3-3x+2=0得x3-x-(2x-2)=0,∴(x-1)(x2+x-2)=0,∴(x-1)2(x+2)=0,解得x=1或x=-2,选C.3.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图像是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根0,则f(-1)·f(1)的值( )A.大于0 B.小于0C.等于0D.无法确定[答案] D[解析] 由题意,知f(x)在(-1,1)上有零点0,该零点可能是变号零点,也可能是不变号零点,∴f(-1)·f(1)符号不定,如f(x)=x2,f(x)=x.4.函数f(x)=的零点的个数是( )A.0 B.1C.2D.3[答案] D[解析] 由题可知,当x>0时,y=lnx与y=-2x+6的图像有1个交点;当x≤0时,函数y=-x(x+1)的图像与x轴有2个交点,所以函数f(x)有3个零点.5.(2022·辽宁三校联考)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x-的零点依次为a,b,c,则( )-7-\nA.a<b<c B.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c[答案] A[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y=2x,y=log3x,y=-的图像,如图,观察它们与直线y=-x的交点情况可知a<b<C.6.(文)若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围为( )A.a<-1 B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1[答案] B[解析] f(x)=2ax2-x-1,∵f(0)=-1<0 f(1)=2a-2,∴由f(1)>0得a>1.故选B.(理)若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(-2,2) B.[-2,2]C.(-∞,-1)D.(1,+∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系.由于函数f(x)是连续的,故只需两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±1,只需f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).二、填空题7.已知函数f(x)=,则函数f(x)的零点为________.[答案] 0[解析] 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.8.(2022·北京西城区期末)设函数f(x)=,则f[f(-1)]=________;若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是________.-7-\n[答案] -2 (0,1][解析] f[f(-1)]=f(4-1)=f()=log2=-2.令f(x)-k=0,即f(x)=k,设y=f(x),y=k,画出图像,如图所示,函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,即y=f(x)与y=k的图像有两个交点,由图像可得实数k的取值范围为(0,1].9.(文)已知方程x2+(a-1)x+(a-2)=0的根一个比1大,另一个比1小,则a的取值范围是________.[答案] (-∞,1)[解析] 函数f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的大致图像如图所示,于是有f(1)<0,即1+(a-1)+(a-2)<0,解得a<1.(理)若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________.[答案] [解析] 由于函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3.因此解得a=-1,b=-6,故f(x)=x2-x-6.所以不等式af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0,解得-<x<1.三、解答题10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.[解析] 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0,-7-\n又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤-.②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则,∴,∴,∴-≤m≤-1,由①②可知m≤-1.一、选择题1.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )A.(-,0) B.(0,)C.(,)D.(,)[答案] C[解析] ∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数.∵f(-)=e--4<0,f(0)=e0+4×0-3=-2<0,f()=e-2<0,f()=e-1>0,∴f()·f()<0.2.已知f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n是f(x)的零点,且m<n,则实数a,b,m,n的大小关系是( )A.m<a<b<n B.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b[答案] A[解析] 本题考查函数性质,主要是函数的零点、单调性.如图,f(a)=f(b)=1,f(m)=f(n)=0,结合图形知,选A.二、填空题-7-\n3.(2022·启东检测)若函数f(x)=log2x+x-k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点,则k=________.[答案] 4[解析] 由题意可得f(2)f(3)<0,即(log22+2-k)(log23+3-k)<0,整理得(3-k)(log23+3-k)<0,解得3<k<3+log23,而4<3+log23<5,因为k∈Z,故k=4.4.(文)(2022·西安五校联考)函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是________.[答案] (-∞,0]∪{1}[解析] 当m=0时,x=为函数的零点;当m≠0时,若Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显然函数x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2-2x+1=0有一个正根和一个负根,即mf(0)<0,即m<0.(理)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.[答案] (-∞,2ln2-2][解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力.函数f(x)=ex-2x+a有零点,也就是a=-ex+2x有解,令g(x)=-ex+2x,g(x)的值域就是a的取值范围.∵g′(x)=-ex+2=0的根为x=ln2,且当x∈(-∞,ln2)时,g′(x)>0,g(x)是增函数,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)是减函数,∴g(x)max=g(ln2)=2ln2-2,∴a的取值范围是(-∞,2ln2-2].三、解答题5.(2022·岳阳模拟)已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.[分析] 由题意可知,方程4x+m·2x+1=0仅有一个实根,再利用换元法求解.[解析] ∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.-7-\n当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.∴这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.[点评] 方程的思想是与函数思想密切相关的,函数问题可以转化为方程问题来解决,方程问题也可以转化为函数问题来解决,本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题.6.(文)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.[解析] (1)f(x)=x2-x-3,因为x0为不动点,因此有f(x0)=x-x0-3=x0,所以x0=-1或x0=3.所以3和-1为f(x)的不动点.(2)因为f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,ax2+bx+(b-1)=0,由题设知b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0.所以0<a<1.(理)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.[解析] ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,∴若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-,-7-\n令f(x)=0,即x2-x-=0,解之得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a<-或a>1.-7-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:14:02
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