【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第7节 函数与方程、函数模型及其应用(含解析)新人教A版
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第7节函数与方程、函数模型及其应用新人教A版一、选择题1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0,D选项中零点两侧函数值同号,故选C.2.(文)(2022·保定调研)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)[答案] B[解析] 解法1:函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上递增、连续,又f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,∴函数f(x)=log3x+x-2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内.解法2:作出函数y=log3x与y=-x+2的图象(图略),不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内,故选B.(理)(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应值表x123456f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064则函数f(x)存在零点的区间有( )A.区间[1,2]和[2,3]B.区间[2,3]和[3,4]C.区间[2,3],[3,4]和[4,5]D.区间[3,4],[4,5]和[5,6][答案] C[解析] ∵f(x)的图象连续不断,且f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,∴f(x)在[2,3],[3,4]和[4,5]内都有零点.3.(文)(2022·广东潮州检测)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3[答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y=|x-2|与y=lnx-13-\n的图象可知,两函数图象有两个交点,∴f(x)有两个零点.(理)(2022·洛阳统考)已知函数f(x)=|x2-4|-3x+m恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A.(-6,6)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(-∞,-)∪(-6,6)D.(-,+∞)[答案] C[解析] 函数f(x)=|x2-4|-3x+m的零点,即方程|x2-4|-3x+m=0的根,即方程|x2-4|=3x-m的根,则y=|x2-4|和y=3x-m的图象的交点个数即函数f(x)的零点个数.在同一坐标平面内作出两函数图象(图略),x=-2,x=2时是临界位置,此时m=-6,m=6.当直线与曲线相切,即y=-x2+4与y=3x-m相切,故x2+3x-4-m=0,Δ=9+4(4+m)=0,可得m=-,∴m∈(-6,6)∪(-∞,-).4.(文)(2022·黄山月考)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1[答案] A[解析] 令f(x)=x+2x=0,因为2x恒大于零,所以要使得x+2x=0,x必须小于零,即x1<0;令g(x)=x+lnx=0,要使得lnx有意义,则x必须大于零,又x+lnx=0所以lnx<0,解得0<x<1,即0<x2<1;令h(x)=x--1=0,得x=+1>1,即x3>1,从而可知x1<x2<x3.(理)已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b[答案] B[解析] 由于f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0);∵-13-\ng(2)=0,故g(x)的零点b=2;h=-1+=-<0,h(1)=1>0,故h(x)的零点c∈,因此,a<c<b.5.(文)(2022·山西临汾一模)某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )A.118元 B.105元C.106元 D.108元[答案] D[解析] 设进价为x元,则x(1+10%)=132(1-10%),∴x=108.(理)(2022·北京文)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟[答案] B[解析] 由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.故选B.6.若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,2)内有一个零点,则f(-2)·f(2)的值( )A.大于0 B.小于0C.等于0 D.不能确定[答案] D[解析] 若函数f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点,且是变号零点,才有f(-2)·f(2)<0,故由条件不能确定f(-2)·f(2)的值的符号.-13-\n二、填空题7.(文)(2022·荆州市质检)函数f(x)=xex-a有两个零点,则实数a的取值范围是________.[答案] (-,0)[解析] 令f′(x)=(x+1)ex=0,得x=-1,则当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,要使f(x)有两个零点,则极小值f(-1)<0,即-e-1-a<0,∴a>-,又x→-∞时,f(x)>0,则a<0,∴a∈(-,0).(理)(2022·贵州四校联考)对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点,若二次函数f(x)=x2+2ax+a2没有不动点,则实数a的取值范围是________.[答案] (,+∞)[解析] 令f(x)=x得x2+(2a-1)x+a2=0,若没有不动点需满足Δ=(2a-1)2-4a2<0,解得a>.故实数a的取值范围是(,+∞).8.(2022·长春调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2022]上的零点个数是________.[答案] 604[解析] 由f(x)+f(x+5)=16,可知f(x-5)+f(x)=16,则f(x+5)-f(x-5)=0,所以f(x)是以10为周期的周期函数.∵x∈(-1,4]时,x2∈[0,16],2x∈(,16],∴x2-2x<16,∴x∈(-1,4]时,f(x)<16.∴当x∈(4,9]时,x-5∈(-1,4],∴f(x-5)<16,f(x)=16-f(x+5)=16-f(x-5)>0,∴f(x)在(4,9]上无零点,因此在一个周期(-1,9]上,函数f(x)=x2-2x在区间(-1,4]内有3个零点,在(4,9]区间内无零点,故f(x)在一个周期内仅有3个零点,由于区间(3,2022]中包含201个周期,且在区间[0,3]内也存在一个零点x=2,故f(x)在[0,2022]上的零点个数为3×201+1=604.9.(文)若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.[答案] 0,-[解析] 由已知条件2a+b=0,即b=-2a,-13-\ng(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+),则g(x)的零点是x=0,x=-.(理)若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________.[答案] [解析] 由于函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3.因此解得a=-1,b=-6,故f(x)=x2-x-6.所以不等式af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0,解得-<x<1.三、解答题10.(文)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需消耗原材料400公斤,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管).(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式;(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少,并求出这个最小值.[解析] (1)每次购买原材料后,当天用掉的400公斤原材料不需要保管,第二天用掉的400公斤原材料需保管1天,第三天用掉的400公斤原材料需保管2天,第四天用掉的400公斤原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天.∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1=400×0.03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x.(2)由(1)可知,购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x=6x2+594x+600(元),∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y=+6x+594≥2+594=714.-13-\n当且仅当=6x,即x=10时,取得等号.∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为714元.(理)当前环境问题已成为问题关注的焦点,2022年哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说非常小.请根据以下数据:①当前汽油价格为2.8元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km;②当前液化气价格为3元/千克,一千克液化气平均可跑15~16km;③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱.[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天,所耗费的汽油费为W元,耗费的液化气费为P元,由题意可知,W=×2.8=(t≥0且t∈N),×3≤P≤×3 (t≥0且t∈N),即37.5t≤P≤40t.又>40t,即W>P,所以使用液化气比使用汽油省钱.(2)①令37.5t+5000=,解得t≈545.5,又t≥0,t∈N,∴t=546.②令40t+5000=,解得t=750.所以,若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备的钱.一、选择题11.(文)函数f(x)在[-2,2]内的图象如图所示,若函数f(x)的导函数f′(x)的图象也是连续不间断的,则导函数f′(x)在(-2,2)内有零点( )-13-\nA.0个 B.1个C.2个 D.至少3个[答案] D[解析] f′(x)的零点,即f(x)的极值点,由图可知f(x)在(-2,2)内,有一个极大值和两个极小值,故f(x)在(-2,2)内有三个零点,故选D.(理)若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为( )A.9 B.8 C.7 D.6[答案] B[解析] ∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图象如图所示,在同一坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,∴共有8个交点.12.(文)(2022·辽宁五校联考)函数f(x)=x3-bx2+1有且仅有两个不同零点,则b的值为( )A. B.C. D.不确定[答案] C[解析] f′(x)=3x2-2bx=x(3x-2b),令f′(x)=0,则x1=0,x2=.b-13-\n<0显然不合题意,∴b>0.又f(0)=1>0,因此当曲线f(x)与x轴相切时,f(x)有且只有两个不同零点,所以f()=0,解得b=.(理)(2022·河北石家庄市模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数f(x)=x-[x]与g(x)=log4(x-1)的图象,∵g(2)=0,g(5)=1,f(2)=0,f(5)=0,∴两函数图象有两个交点,即h(x)有两个零点.13.(2022·安徽)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围为( )A.{2,3} B.{2,3,4}C.{3,4} D.{3,4,5}[答案] B[解析] 如图所示==…=.可以看作点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn))与原点(0,0)连线的斜率.-13-\n对于l1,l2,l3满足条件的x分别有2个、3个、4个,故选B.14.(文)(2022·洛阳统考)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则( )A.<x1x2<1 B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10[答案] A[解析] 在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象(图略),结合图象不难看出,在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=ln(x1x2)∈(-1,0).于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,选A.(理)(2022·昆明调研)设函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=()x,又函数g(x)=|xsinπx|,则函数h(x)=f(x)-g(x)在[-,2]上的零点个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6[答案] C[解析] 由题意知f(x),g(x)均为偶函数,所以函数h(x)在[-,2]上的零点个数可转化为在区间[0,]上的零点个数和在区间(0,2]上的零点个数之和.当x∈(0,2]时,令h(x)=0,即()x=|xsinπx|,则|sinπx|=·()x,画出函数y=|sinπx|和y=·()x的图象如图所示,由图可知两图象有4个交点,且x=是其中一个交点,所以函数h(x)在[-,2]上有5个零点.15.(2022·石家庄质量检测)已知函数f(x)=,其中e为自然对数的底数,若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(0,1)-13-\nC.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)[答案] B[解析] 当a=0时,f(f(x))=0有无数个根;当a≠0时,由f(f(x))=0得f(x)=1,作出函数f(x)的图象,如图所示,当a<0,0<a<1时直线y=1与函数f(x)的图象有且只有一个交点,所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1),故选B.二、填空题16.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=()x-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围为________.[答案] (,2)[解析] 依题意得,f(x+4)=f(x),即函数f(x)是以4为周期的函数.关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)(a>1)的图象恰有三个不同的交点.结合题意分别画出函数f(x)在(-2,6]上的图象与函数g(x)=loga(x+2)(a>1)的图象(如图所示),结合图象分析可知,要使两函数的图象有三个不同的交点,则有由此解得<a<2,即a的取值范围是(,2).三、解答题17.(文)(2022·太原模拟)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;-13-\n③每月需各种开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额.(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?[解析] 设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,①由销量图易得Q=代入①式得L=(1)当14≤P≤20时,Lmax=450元,此时P=19.5(元),当20<P≤26时,Lmax=元,此时P=(元),故当P=19.5(元)时,月利润余额最大,为450元.(2)设可在n件后脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20,即最早可望在20年后脱贫.(理)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4t时,每吨为1.80元,当用水超过4t时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5xt、3xt.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.[解析] (1)当甲户的用水量不超过4t时,即x≤,乙户的用水量也不超过4t,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲户的用水量超过4t,乙户的用水量不超过4t时,即<x≤,y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8,当乙户的用水量超过4t时,即x>,y=8×1.8+3×(8x-8)=24x-9.6,所以y=(2)由(1)可知y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈[0,]时,y≤f()=11.52<26.4;-13-\n当x∈(,]时,y≤f()=22.4<26.4;当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5t,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5t,付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).18.(文)已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.[分析] 由题意可知,方程4x+m·2x+1=0仅有一个实根,再利用换元法求解.[解析] ∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.∴这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(理)(2022·南京模拟)如图,现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60m,绕岛行驶的路宽均不小于10m.(1)求x的取值范围(取1.4);(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为ax元/m2,其余区域的造价为-13-\n元/m2,当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?[解析] (1)由题意得,解得,即9≤x≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得y=a×π×(x2)2+ax×πx2+×[104-π×(x2)2-πx2]=[π(-x4+x3-12x2)+12×104],令f(x)=-x4+x3-12x2,则f′(x)=-x3+4x2-24x=-4x(x2-x+6),由f′(x)=0,解得x=10或x=15,列表如下:x9(9,10)10(10,15)15f′(x)-0+0f(x)极小值所以当x=10时,y取最小值.所以当x=10时,可使“环岛”的整体造价最低.-13-
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)