【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第1节 函数及其表示（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第1节函数及其表示新人教A版一、选择题1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)A．[0,2]　　　　　　　B．(0,2)C．(0,2]　D．[0,2)[答案]　C[解析]　∵∴0<x≤2，故选C．(理)(2022·湖北荆门期末)函数f(x)＝ln(＋)的定义域为(　　)A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)[答案]　D[解析]　要使函数f(x)有意义，必须且只需解得－4≤x<0或0<x<1.故选D．2．(文)设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)A．　B．3C．　D．[答案]　D[解析]　由条件知f(3)＝，f(f(3))＝f()＝()2＋1＝.(理)已知函数f(x)＝则f(2022)等于(　　)A．－1　　　　　　　　B．1C．－3　D．3[答案]　B[解析]　f(2022)＝f(2022)＝f(2022)＝……＝f(0)＝2×0＋1＝1.-11-\n3．(2022·银川模拟)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]　A[解析]　由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解之得－3<x<1或x>3，∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A．4．(文)(2022·长春市调研)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是(　　)A．y＝x2　B．y＝－x3C．y＝－lg|x|　D．y＝2x[答案]　C[解析]　四个函数中，是偶函数的有A，C，又y＝x2在(0，＋∞)内单调递增，故选C．(理)(2022·吉林市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是(　　)A．y＝()x　B．y＝sinxC．y＝x3　D．y＝x[答案]　C[解析]　A、D中的函数为非奇非偶函数，B中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y＝x3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C．5．(文)函数f(x)＝的值域是(　　)A．(－∞，－1)　B．(－1,0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞)　D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案]　D[解析]　＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是(　　)A．[，3]　B．[2，]-11-\nC．[，]　D．[3，][答案]　B[解析]　令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，可得值域为[2，]，选B．6．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为(　　)A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．±1[答案]　C[解析]　∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f()＝1，则有＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f()＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.二、填空题7．(文)函数y＝的定义域是________．[答案]　(－3,2)[解析]　由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，即{x|－3<x<2}．(理)(2022·福州模拟)函数f(x)＝－的定义域为________．[答案]　(－∞，－1)∪(－1,1][解析]　∵要使函数f(x)＝－有意义，∴∴∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[失误与防范]　本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．8．(文)如果函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋…f(2022)＋f()＋f()＋…＋-11-\nf()的值为________．[答案]　0[解析]　由于f(x)＋f()＝＋＝＋＝0，f(1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．[答案]　(2，＋∞)[解析]　1⊕k＝＋k＋2＝4，解之得k＝1，∴f(x)＝＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.9．已知f(x－2)＝则f(1)＝________.[答案]　10[解析]　f(1)＝f(3－2)＝1＋32＝10.三、解答题10．(文)函数f(x)＝x2＋x－.(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为[－，]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值．[解析]　∵f(x)＝(x＋)2－，∴对称轴为x＝－.(1)∵3≥x≥0>－，∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－，]．(2)∵x＝－时，f(x)＝－是f(x)的最小值，∴x＝－∈[a，b]，令x2＋x－＝，得x1＝－，x2＝，-11-\n根据f(x)的图象知当a＝－，b＝时，b－a取最大值－(－)＝.(理)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，∴解得∴f(x)＝x2＋x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝(x2－)2－，当x2＝时，y取最小值－.∴函数y＝f(x2－2)的值域为[－，＋∞)．一、选择题11．(文)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为(　　)A．1　B．1，－C．－　D．1，[答案]　B[解析]　f(1)＝1，当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，∴a＝1，-11-\n当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)，∴1＋sin(πa2)＝2，∴πa2＝＋2kπ(k∈Z)，∵－1<a<0，∴a＝－，故选B．(理)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)　B．(－∞，3)C．[，3)　D．(1,3)[答案]　D[解析]　解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1，①又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3，②又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥，③由①②③可得1<a<3.解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，故选D．[点评]　f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f(x2)．12．(2022·乌鲁木齐地区诊断)若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a<b<c　B．c<a<bC．c<b<a　D．b<a<c[答案]　B[解析]　解法1：－＝＝<0，∴a<b－＝＝<0，∴c<a，∴c<a<b.解法2：设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴-11-\nf(3)>f(4)>f(5)，∴>>，∴>>，∴b>a>c.13．(2022·辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象(　　)A．y＝2x－x2－1　B．y＝C．y＝(x2－2x)ex　D．y＝[答案]　C[解析]　由图象可知，x<0时，函数值恒大于0，排除A、B、D，故选C．14．(2022·吉林省九校联合体摸底)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是(　　)A．(3,7)　B．(9,25)C．(13,49)　D．(9,49)[答案]　C[解析]　∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，又∵y＝f(x)是增函数，∴不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0⇔f(x2－6x＋21)<f(8y－y2)⇔x2－6x＋21－8y＋y2<0⇔(x－3)2＋(y－4)2<4.即点(x，y)是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图当x>3时，点(x，y)是右半圆内部分，x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49.二、填空题-11-\n15．(文)函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0的值为________．[答案]　－1或1[解析]　当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1，∵f(x0)＝1，∴2－x0－1＝1，∴2－x0＝2，∴x0＝－1；当x0>0时，f(x0)＝，∵f(x0)＝1，∴＝1，∴x0＝1.综上可得x0的值为－1或1.(理)(2022·四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f(x)在R上有最小值；②当b>0时，函数在R上是单调增函数；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|；⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根．[答案]　②③④[解析]　f(x)＝取b＝0知，①⑤错；容易判断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c－<0且c＋>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②、③、④.三、解答题16．(文)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：t)满足函数关系式C＝10000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式为R＝已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.(1)求a的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．[解析]　(1)∵当x＝30时，y＝－100，∴－100＝－×303＋a×302＋270×30－10000，∴a＝3.(2)当0<x<120时，y＝－x3＋3x2＋270x－10000.令y′＝－x2＋6x＋270＝0，可得：x1＝90，x2＝－30(舍去)，所以当x∈(0,90)时，原函数是增函数，当x∈(90,120)时，原函数是减函数．∴当x＝90时，y取得极大值14300.-11-\n当x≥120时，y＝10400－20x≤8000.所以当日产量为90t时，每日的利润可以达到最大值14300元．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析]　(1)P＝(2)图略，Q＝40－t(t∈N*)．(3)设日销售金额为y(元)，则y＝即y＝若0<t<25(t∈N*)，则当t＝10时，ymax＝900；若25≤t≤30(t∈N*)，则当t＝25时，ymax＝1125.由1125>900，知ymax＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．17．(文)(2022·湖北武汉联考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．-11-\n[解析]　(1)令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，又∵f(1)＝0，∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令x1＝x，x2＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在定义域D上为偶函数．(理)(2022·河北石家庄质检)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f(x＋)<f()；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．[解析]　(1)任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)，由已知得>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴解得－≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，-11-\n∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.-11-