【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第4节 指数与指数函数（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第4节指数与指数函数新人教A版一、选择题1．(2022·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)A．y＝　B．y＝|x－2|C．y＝2x－1　D．y＝log2(2x)[答案]　A[解析]　f(x)＝ax－1的图象过定点(1,1)，在函数y＝中当x＝1时，y＝0，故选A．2．(文)(2022·烟台月考)若a＝log20.9，b＝3－，c＝()，则(　　)A．a<b<c　B．a<c<bC．c<a<b　D．b<c<a[答案]　B[解析]　a＝log20.9<0，c＝()＝3－，因为3－>3－>0，所以a<c<b.(理)设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是(　　)A．a>b>c　B．a<b<cC．b<a<c　D．a<c<b[答案]　C[解析]　y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3，∴1>a>b，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c.3．(文)(2022·西安模拟)函数f(x)＝的图象(　　)A．关于原点对称　B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称　D．关于y轴对称[答案]　D[解析]　∵f(x)＝ex＋e－x，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选D．-11-\n(理)已知a>0，a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)[答案]　C[解析]　函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，排除B；a>1时，y＝x＋a与y轴交点在点(0,1)上方，排除A；0<a<1时，y＝x＋a与y轴交点在点(0,1)下方，排除D，故选C．4．(2022·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)A．f(－4)>f(1)　B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1)　D．不能确定[答案]　A[解析]　由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝ax的单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．5．(文)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC中，有(　　)A．f(sinA)>f(cosB)　B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)　D．f(cosA)<f(cosB)[答案]　A[解析]　由题知偶函数f(x)的周期为2，所以f(x)在[－1，0]上为减函数，故偶函数f(x)在[0,1]上为增函数，因为A＋B>，所以>A>－B>0,1>sinA>cosB>0.于是f(sinA)>f(cosB)，故选A．(理)(2022·陕西理，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)A．f(x)＝x　B．f(x)＝x3-11-\nC．f(x)＝()x　D．f(x)＝3x[答案]　D[解析]　由于ax·ay＝ax＋y，所以指数函数f(x)＝ax满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减，所以f(x)＝3x满足题意．6．(2022·天津月考)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<<b<1B．0<b<<1C．0<<a<1D．0<<<1[答案]　A[解析]　由图象知函数单调递增，所以a>1.又－1<f(0)<0，f(0)＝loga(20＋b－1)＝logab，即－1<logab<0，所以0<<b<1，故选A．二、填空题7．(2022·沂南一中月考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．[答案]　log37[解析]　9x－6·3x－7＝0⇔(3x)2－6·3x－7＝0，∴3x＝7或3x＝－1(舍去)．∴x＝log37.8．函数f(x)的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h(x)＝x，φ(x)＝log2x，则f()＋f(4)的值为________．-11-\n[答案]　－[解析]　由程序框图知f(x)＝∵h＝＝，φ＝－1，∴f＝－1，∵h(4)＝，φ(4)＝2，∴f(4)＝，∴f＋f(4)＝－1＋＝－.9．(2022·湖南)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.[答案]　(1){x|0<x≤1}　(2)①②③[解析]　(1)∵c>a>0，c>b>0，a＝b，且a、b、c不能构成三角形的三边，∴0<a＋a≤c，∴≥2，令f(x)＝0得，ax＋bx＝cx，∵a＝b，∴2ax＝cx，∴()x＝2，∴x＝log2，∴＝log2≥1，∴0<x≤1.(2)①∵a、b、c是三角形的三边长，∴a＋b>c，∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1，∴当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cx[()x＋()x－1]>cx(＋－1)＝-11-\n>0，∴①正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c构成三角形的三边长，取x＝2，则a2、b2、c2不能构成三角形的三边长，故②正确；③∵c>a，c>b，△ABC为钝角三角形，∴a2＋b2－c2<0，又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，∴函数f(x)在(1,2)上存在零点，③正确．三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝()|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．[分析]　这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f(x)的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值，从而建立a的方程求出a.[解析]　(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝()t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在x＝0处取到最大值，∴f(0)＝()－a＝，∴a＝2.(理)(2022·山东聊城一模)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.(1)k＝1时，求F(x)的值域；(2)试讨论函数F(x)的单调性．[解析]　(1)k＝1时，F(x)＝f(x)＋x＝可以证明F(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增，又f(0)＝1，f(1)＝2，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)＋kx＝若k＝0，则F(x)在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增；-11-\n若k>0，则F(x)在(0，]上递减，在(，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递增．若k<0，则F(x)在(0，＋∞)上递减．当x≤0时，F′(x)＝ex＋k，若F′(x)>0，则x>ln(－k)，若F′(x)<0，则x<ln(－k)．若k≤－1，－k≥1，则F(x)在(－∞，0]上递减，若－1<k<0,0<－k<1，则F(x)在(－∞，ln(－k))上递减，在(ln(－k)，0)上递增．一、选择题11．(文)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝(　　)A．2　　　B．　　C．　　D．a2[答案]　B[解析]　∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2得，f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，解得f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2，又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝.(理)(2022·湖北荆门月考)已知a>b>1,0<x<1，以下结论中成立的是(　　)A．()x>()x　B．xa>xbC．logxa>logxb　D．logax>logbx[答案]　D[解析]　∵a>b>1,0<x<1，∴0<<<1，∴()x<()x，故A不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb，故B不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴logxa<logxb，故C不成立；∵logxa<logxb<0，∴logax>logbx，故D成立，故选D．12．(文)(2022·福建泉州一模)设函数f(x)定义在R上，它的图象关于直线x-11-\n＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)A．f<f<f　　B．f<f<fC．f<f<f　　D．f<f<f[答案]　B[解析]　∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，故当x<1时，f(x)为减函数，且f＝f＝f＝f，∵<<，∴f>f>f，即f<f<f，故选B．(理)(2022·四平模拟)已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是(　　)A．(，4)　B．(，＋∞)C．(，5)　D．(，2)[答案]　B[解析]　作出函数f(x)＝的图象如图所示．直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－()x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x>0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0.解得m>.故选B．13．(文)(2022·安徽省示范高中第一次联考)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)A．(0，]　B．(0，]C．(0,1)　D．(0,2][答案]　B[解析]　由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得解得0<a≤.[易错警示]　本题考查的是分段函数在R上的单调性，要注意本题需满足a0－2≤－3a.(理)(2022·江西适应性考试)已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a-11-\n的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]　B．[－3,0)C．[－3，－1]　D．{－3}[答案]　B[解析]　当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈[－()a，－1)，所以[－，－1)[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.14．(文)(2022·福建五校联考、石室摸底)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)[答案]　A[解析]　依题意，f(x)的值为1和2x的值中较小的，故当x≥0时，f(x)＝1，当x<0时，f(x)＝2x，故选A．(理)(2022·广州模拟)定义运算a⊕b＝则f(x)＝2x⊕2－x的图象是(　　)[答案]　C[解析]　由a⊕b的定义知，f(x)的图象为y＝2x与y＝2－x的图象中较低的部分，故选C．15．(2022·成都七中期中)若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是(　　)A．a＝－　B．a≥－C．a≤－　D．－≤a<0-11-\n[答案]　B[解析]　要使f(x)有意义，应有1＋3x＋a·9x≥0(*)由题意知，不等式(*)的解集为(－∞，1]，令t＝3x，则t∈(0,3]，∴t＝3是方程1＋t＋at2＝0的根，∴a＝－.二、填空题16．(2022·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.[答案]　①③④[解析]　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①对；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②错；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③对；当0<a<1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④对；当a>1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤错．综上，真命题是①③④.三、解答题17．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．[解析]　(1)因为f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，所以3a＋2＝18⇒3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－2＋.当x∈[－1,1]时，2x∈，令t＝2x，所以y＝－t2＋t＝－2＋.-11-\n故当t∈时，y＝－t2＋t＝－2＋是减少的，又t＝2x在[－1,1]上单调增加，所以g(x)在[－1,1]上单调减少．(3)因为方程g(x)＝m有解，即m＝2x－4x在[－1,1]内有解．由(2)知g(x)＝2x－4x在[－1,1]上单调递减，所以－2≤m≤，故m的取值范围是.18．(文)(2022·资阳诊断)函数f(x)＝m＋logax(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．[解析]　(1)∵∴解得m＝－1，a＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x>1)．∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.(理)(2022·陕西调研)已知函数f(x)＝x，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．-11-\n[分析]　(1)由f(x)＝x的单调性可求出f(x)的值域，g(x)是以f(x)为变元的二次函数，令t＝x，可求关于t的二次函数的最小值h(a)．(2)由(1)知当m>n>3时h(a)的表达式，考察h(a)在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．[解析]　(1)因为x∈[－1,1]，所以x∈.设x＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.当a<时，h(a)＝φ＝－；当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.所以h(a)＝(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在．[点评]　解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．-11-