【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第2章 第6节 幂函数与函数的图象变换（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第6节幂函数与函数的图象变换新人教B版一、选择题1．(文)(2022·山东临沂月考)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)A．(－2，＋∞)　　　B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2)[答案]　C[解析]　因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.(理)(2022·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)A．－1　　　　　　B．2C．3D．－1或2[答案]　B[解析]　f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.[点评]　在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．2．(2022·福建泉州模拟)函数y＝ln的图象为(　　)[答案]　A[解析]　由函数定义域易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，据此排除B，选A.[点评]　识别函数的图象是一项重要的基本功，可从其奇偶性、特殊点入手排除；也可从其定义域、变化率入手排除；也可以借助基本初等函数研究其零点和函数值的符号变化规律．①(2022·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)-12-\n[答案]　A[解析]　本题考查函数的图象与性质．∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，排除C.∵x2＋1≥1，则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，所以排除B、D，选A.②函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)[答案]　A[解析]　本题考查了函数图象的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.③(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)[答案]　D[解析]　根据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看0<a<1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a>1，与幂函数图象矛盾，故选D.要注意结合函数特点，图象特征确定分析的切入点，注意平时练习中总结规律、减少盲目性．④(2022·云南名校一联)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)[答案]　A[解析]　由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.-12-\n∴f(x)＝ax－a－x.又f(x)在R上是减函数，∴0<a<1.∴g(x)＝loga(x＋2)的图象应是A.3．要将函数y＝1＋的图象变换成幂函数y＝x的图象，需要将y＝1＋的图象(　　)A．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D．向右平移一个单位，再向下平移一个单位[答案]　B[解析]　可运用逆向思维．如果由y＝x的图象得到y＝1＋的图象，需要将y＝x的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可．现在是反过来的问题，因此，要得到函数y＝x的图象，需要将y＝1＋的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位，故选B.[点评]　画函数图象是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．1°利用平移识图函数y＝的图象是(　　)-12-\n[答案]　B[解析]　∵y＝＝1－，∴将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．2°利用对称变换画图函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.[答案]　4[解析]　f1(x)＝|4x－x2|，f2(x)＝a，则函数图象恰有三个不同的交点．如图所示，当a＝4时满足条件．4．(文)(2022·盱眙中学月考)当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是(　　)A．f(x)<g(x)<h(x)B．f(x)<h(x)<g(x)C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<h(x)<f(x)[答案]　A[解析]　用特殊值法求解．令x＝，则f()＝()1.1，g()＝()0.9，h()＝()－2.由指数函数y＝()x的单调性知f()<g()<h()，故选A.(理)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a[答案]　A[解析]　记f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1＝，当0<x<1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>>>>0，∴a>b>c，选A.5．(文)(2022·长春模拟)函数f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是(　　)-12-\n[答案]　C[分析]　根据指数函数、对数函数的性质判断a的取值范围，再作出判断．[解析]　∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0，∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此图象为C.(理)(2022·安徽合肥三模)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图．则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)[答案]　A[分析]　根据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出判断．[解析]　(1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排除C，D.应选A.6．(2022·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　)A．0　　B．1　　　　C．2　　D．3[答案]　B[解析]　∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴3m－5<0，∴m<，∵m∈N，∴m＝0或1.又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴m＝1，故选B.二、填空题7．(文)若幂函数f(x)的图象经过点A，则它在A点处的切线方程为________．[答案]　16x－8y＋1＝0[解析]　设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点A，∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝x，∴f′(x)＝，∴f′＝2，-12-\n故切线方程为y－＝2×，即16x－8y＋1＝0.(理)幂函数y＝(p∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p＝________.[答案]　1[解析]　∵f(1)<f(4)，∴－p2＋p＋>0，∴－1<p<3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，又此幂函数为偶函数，∴p＝1.8．(2022·江苏盐城模拟)若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．[答案]　(－，2)[解析]　在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示．若a≤0，则其临界情况为g(x)＝|x－a|的图象与抛物线f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·(a＋2)＝0，解得a＝－；若a>0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是(－，2)．9．(文)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．[答案]　(－∞，－1)∪(3,5)[解析]　由题意，得或或∴a<－1或3<a<5.(理)(2022·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．[答案]　(0,2)[解析]　∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.10．(文)(2022·成都七中期中)已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过P(，2)，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.[答案]　[解析]　设f(x)＝ax，g(x)＝logbx，h(x)＝xα，则f()＝a＝2，g()＝logb＝2，h()＝()α＝2，∴a＝4，b＝，c＝－1.-12-\n由f(x1)＝4x1＝4得x1＝1，由g(x2)＝logx2＝4得x2＝，由h(x3)＝x＝4得x3＝，∴x1＋x2＋x3＝.(理)(2022·浙江杭州一模)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．[答案]　(，6)[解析]　因为y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，所以对称轴为x＝3.当3x＋4＝－3时，x＝－，所以要使互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如图所示．不妨设x1<x2<x3，则有－<x1<0，＝3，x2＋x3＝6，所以<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(，6)．[点评]　1.解决本类题的思路是：先在同一坐标系下画出函数y＝f(x)的图象，然后假设x1，x2，x3的大小关系，结合图象求出x1，x2，x3的大致范围，进而求出答案．2．应用函数图象可解决下列问题(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题，从而利用数形结合求解.一、选择题11．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(2,3)　　C．(1,2)D．(3,4)[答案]　C[解析]　设f(x)＝x3－x－2，则f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在区间(1,2)内．-12-\n12．(文)(2022·山东济南质检)函数y＝的图象大致是(　　)[答案]　C[解析]　由于＝－，所以f(－x)＝－f(x)，函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，排除B.当x>1时，y>0，当x<－1时，y<0.排除A；当x>0时，y＝.又y′＝，由y′＝0得x＝2，当0<x<2时，y′>0，当x>2时，y′<0，∴原函数在(0,2)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．结合选项可知选C.(理)(2022·河北石家庄调研)函数f(x)＝sinx·ln|x|的部分图象为(　　)[答案]　A[解析]　∵f(－x)＝sin(－x)ln|－x|＝－sinxln|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故C，D错；令f(x)＝0，则sinx＝0或ln|x|＝0，∴x＝kπ(k∈Z)或x＝±1，∴当x＝时，f(x)＝sin×ln||<0，∴选A.13．(文)函数y＝lncosx(－<x<)的图象是(　　)-12-\n[答案]　A[解析]　由已知得0<cosx≤1，∴lncosx≤0，排除B、C、D.故选A.(理)(2022·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln(x－)的图象是(　　)[答案]　B[解析]　自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D.函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln(x－)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.14．(文)(2022·福建福州质检)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝C．f(x)＝xcosxD．f(x)＝x(x－)(x－)[答案]　C[解析]　解法1：注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D不正确；对于A，f′(x)＝1＋cosx≥0，因此函数f(x)＝x＋sinx是增函数，选项A不正确；对于B，由于f(x)的图象过原点，因此选项B不正确．综上所述知选C.解法2：由图象过点(，0)，(0,0)，(－，0)，依次排除A、B、D选项，选C.(理)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD(　　)A．相交，且交点在坐标原点B．相交，且交点在第Ⅰ象限C．相交，且交点在第Ⅱ象限D．相交，且交点在第Ⅳ象限[答案]　A[解析]　易求得两直线方程分别为AB：y＝x、CD：y＝x，则其交点为坐标原点．如图所示．-12-\n15．(文)(2022·银川市唐徕回中月考)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)[答案]　A[解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax＋b单调减，排除C、D，且g(0)＝1＋b<0，排除B，故选A.(理)(2022·沈阳铁路实验中学期中)在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是(　　)[答案]　D[解析]　若a>1，则y＝ax的图象应为A，C，此时y＝sinax的周期T<2π，故排除A、C；∴0<a<1，∴T>2π，故排除B，选D.二、填空题-12-\n16．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．[答案]　②④⑤[解析]　由已知log2a＝log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．三、解答题17．(文)(2022·开封质检)已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析]　(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝－x，∵f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f(－x)＝－＋x＝－(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2022·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．[解析]　(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，则2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，-12-\ng′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，∴a的取值范围是[3，＋∞)．-12-