【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第3节 三角函数的图象与性质（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第3节三角函数的图象与性质新人教A版一、选择题1．(文)(2022·辽宁理，9)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[－，]上单调递减D．在区间[－，]上单调递增[答案]　B[解析]　设平移后的函数为f(x)，则f(x)＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x＋－π)＝－3sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得f(x)的递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，同理得递增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.从而可判断得B正确．[点评]　解答平移与伸缩变换的题目注意事项．(1)确定好由哪个函数变为哪个函数．①(2022·四川理，3)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度[答案]　A[解析]　∵y＝sin(2x＋1)＝sin2(x＋)，∴需要把y＝sin2x图象上所有的点向左平移个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．(2)确定好平移方向及平移单位数．②(2022·东北三省三校二模)函数h(x)＝2sin(2x＋)的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，则函数f(x)可由h(x)经过________的变换得到(　　)-15-\nA．向上平移2个单位，向右平移个单位B．向上平移2个单位，向左平移的单位C．向下平移2个单位，向右平移个单位D．向下平移2个单位，向左平移的单位[答案]　A[解析]　∵函数h(x)与f(x)的图象关于点(0,1)对称，∴函数f(x)＝2sin(2x－)＋2，故将函数h(x)的图象向上平移2个单位，向右平移个单位可得函数f(x)的图象．(3)注意先平移后伸缩和先伸缩后平移的区别．③(2022·武汉质检)将函数y＝sin(6x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是(　　)A．(，0)　　　　　　B．(，0)C．(，0)　D．(，0)[答案]　A[解析]　y＝sin(6x＋)y＝sin(2x＋)y＝sin2x，其对称中心为(，0)，取k＝1，选A．(4)注意正向变换与逆向变换，由f(x)的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到g(x)的图象，则由g(x)的图象变换为f(x)的图象时，应向上平移1个单位，再向左平移2个单位．④(2022·郑州市质检)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y＝2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是(　　)A．f(x)＝2sinx　B．f(x)＝2cosxC．f(x)＝cos2x　D．f(x)＝sin2x[答案]　D[解析]　∵y＝2sin2x＝1－cos2x，∴将y＝1－cos2x的图象向下平移一个单位，得到y-15-\n＝－cos2x的图象，再向左平移个单位得到f(x)＝－cos[2(x＋)]＝－cos(2x＋)＝sin2x，故选D．(理)(2022·东营模拟)将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为(　　)A．　　　　　　　　B．C．　D．[答案]　C[解析]　将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故正数φ的最小值为.2．(2022·甘肃省三诊)函数f(x)＝sin2x－4sin3x·cosx(x∈R)的最小正周期为(　　)A．　B．C．　D．π[答案]　A[解析]　f(x)＝sin2x－4sin3x·cosx＝2sinxcosx－4sin3xcosx＝2sinxcosx(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，∴函数f(x)的最小正周期为.3．(文)(2022·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点(，0)，则ω有(　　)A．最小值2　B．最大值2C．最小值1　D．最大值1[答案]　A[解析]　由题意知－≥，∴T＝≤π，∴ω≥2，故选A．(理)(2022·沈阳市二检)已知曲线f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈[0，]，则x0＝(　　)A．　B．-15-\nC．　D．[答案]　C[解析]　由题可知f(x)的周期为π，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋)，由曲线关于(x0,0)对称得2x0＋＝kπ，k∈Z，∴x0＝－，∵x0∈[0，]，∴k＝1，x0＝.4．(文)(2022·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sinωx在[－，]上是增函数，那么(　　)A．0<ω≤　B．0<ω≤2C．0<ω≤　D．ω≥2[答案]　A[解析]　由题意知f(x)在[－，]上为增函数，∴·≥，∴0<ω≤.(理)为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　　)A．98π　B．πC．π　D．100π[答案]　B[解析]　由题意至少出现50次最大值即至少需用49个周期，∴49·T＝·≤1，∴ω≥π，故选B．5．(文)(2022·温州检测)函数f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为(　　)A．2π，3　B．2π，1C．π，3　D．π，1[答案]　C[解析]　由题可知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＋1＝2sin(－2x-15-\n)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C．(理)(2022·金丰中学质检)若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)A．1　B．2C．＋1　D．＋2[答案]　B[解析]　f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋<，∴≤sin≤1，∴f(x)的最大值为2.6．(2022·山西重点中学四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)A．{x|x＝kπ－，k∈Z}　B．{x|x＝kπ－，k∈Z}C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}　D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}[答案]　B[解析]　由图知，＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵图象过点(，1)，∴f()＝sin(＋φ)＝1，∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)．将f(x)的图象向左平移个单位得到y＝f(x＋)＝sin(2x＋)的图象，当函数y＝f(x＋)取到最小值时，2x＋＝2kπ－，∴x＝kπ－，k∈Z，故选B．二、填空题7．(文)(2022·课标全国Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ-15-\n)的最大值为________．[答案]　1[解析]　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.∴最大值为1.(理)(2022·新课标Ⅰ理，15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.[答案]　－[解析]　f(x)＝sinx－2cosx＝(sinx－cosx)，令＝cosα，＝sinα，则f(x)＝sin(x－α)，∵x∈R，∴f(x)max＝，且当x－α＝2kπ＋时取到最大值，k∈Z.∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＝2kπ＋＋α.∴cosθ＝cos(2kπ＋＋α)＝－sinα＝－.8．(文)(2022·江西九江质检)函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．[答案]　(1,3)[解析]　f(x)＝sinx＋2|sinx|＝在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图象可知1<k<3.(理)(2022·山东威海一模)若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．[答案]　(－2，－1]-15-\n[解析]　由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a，该函数在[0，]上有两个不同的零点，即y＝－a与y＝2sin(2x＋)在[0，]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a<2，所以－2<a≤－1.9．给出下列命题：①存在实数x，使得sinx＋cosx＝；②若α、β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ；③函数y＝sin(－)的最小正周期为5π；④函数y＝cos(＋)是奇函数；⑤函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin(2x＋)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)[答案]　③④[解析]　对于①，因为sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，而>，因此不存在实数x，使得sinx＋cosx＝，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tanα＝tanβ，因此②不正确；对于③，函数y＝sin(－)的最小正周期是T＝＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝cos(＋)，则f(x)＝sin，f(－x)＝－f(x)，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2(x＋)＝sin(2x＋)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.三、解答题10．(文)(2022·中原名校第二次联考)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx－1(ω>0)的周期T＝π.-15-\n(1)若直线y＝m与函数f(x)的图象在x∈[0，]时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求f(x1＋x2)的值；(2)已知三角形ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c且c＝3，f(C)＝0.若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.[解析]　(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx－1＝sin(ωx－)－1且周期为π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x－)－1，∵y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以当x∈[0，]时，y＝m与函数f(x)图象的交点关于x＝对称，∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝f()＝－.(2)由(1)知，f(C)＝sin(2C－)－1＝0，∴C＝，又∵m∥n，∴2sinA－sinB＝0，∴2a＝b.∵a2＋b2－2abcosC＝c2，c＝3，∴a＝，b＝2.(理)(2022·江西省七校联考)已知m＝(asinx，cosx)，n＝(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f()＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求a，b的值；(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．[解析]　(1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x.由f()＝2，得a＋b＝8.①∵f′(x)＝asin2x＋bcos2x，又f′(x)的图象关于直线x＝对称，∴f′(0)＝f′()，-15-\n∴b＝a＋b，即b＝a.②由①②得，a＝2，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－)＋1.∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，∴－1≤2sin(2x－)≤2，f(x)∈[0,3]．又f(x)＋log2k＝0在[0，]上有解，即f(x)＝－log2k在[0，]上有解，∴－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈[，1]．一、选择题11．函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝(　　)A．10　B．8C．　D．[答案]　B[分析]　利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析]　如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝＝2，tanα＝＝＝-15-\n，tanβ＝＝＝，则tan(α＋β)＝＝＝8，∴选B．12．(2022·山东威海一模)已知函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，下列关于y＝g(x)的说法正确的是(　　)A．图象关于点(－，0)中心对称B．图象关于直线x＝－轴对称C．在区间[－，－]上单调递增D．在区间[－，]上单调递减[答案]　C[解析]　函数f(x)＝sin2x向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)，令x＝－，得f(－)＝－sin≠0，A不正确；令x＝－，得f(－)＝sin0＝0≠±1，B不正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，[－，－][－，]，故选C．13．已知函数f(x)＝sin图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4[答案]　D-15-\n[解析]　f(x)的周期T＝＝2R，f(x)的最大值是，结合图形分析知R>，则2R>2>3，只有2R＝4这一种可能，故选D．[点评]　题中最大值点应为(，)，由＋3＝R2得R2＝4，∴|R|＝2，∴T＝＝4.14．(2022·北京西城一模)下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是(　　)A．f(x)＝sinx　B．f(x)＝sinxcosxC．f(x)＝cosx　D．f(x)＝cos2x－sin2x[答案]　D[解析]　由f(x)＝f(－x)，可知函数f(x)为偶函数，由f(x－π)＝f(x)，可知函数f(x)是以π为周期的周期函数．因为f(x)＝sinx，f(x)＝sinxcosx＝sin2x是奇函数，故A，B错；因为函数f(x)＝cosx的周期为2π，故C错；f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x为偶函数且周期为π，故选D．二、填空题15．已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在x∈(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．[答案]　－2<m<－1[解析]　m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，∵x∈(，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋)，x∈(，π)有两个不同的交点，∴－2<m<－1.16．(文)(2022·荆州市质检)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－，0)对称，则函数的解析式为________．[答案]　y＝sin(2x＋)[解析]　由题意知最小正周期T＝π＝，-15-\n∵函数图象关于点(－，0)对称，∴ω＝2,2×(－)＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．(理)某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,0<ω<2，－<φ<)的图象，列出的部分数据如下表：x01234y101－1－2经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．[答案]　y＝2sin[解析]　∵(0,1)和(2,1)关于直线x＝1对称，故x＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A＝2，由过(0,1)点知2sinφ＝1，∵－<φ<，∴φ＝，∴y＝2sin，再将点(2,1)代入得，2sin＝1，∴2ω＋＝＋2kπ或2ω＋＝＋2kπ，k∈Z，∵0<ω<2，∴ω＝，∴解析式为y＝2sin.三、解答题17．(文)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设f(x)＝cos＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．[解析]　(1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB，∴bcosC＋ccosB＝2acosB．-15-\n由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB．又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB．又sinA≠0，∴cosB＝.又B∈(0，π)，∴B＝.(2)由题知f(x)＝cos(ωx－)＋sinωx＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，由已知得＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)，当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，sin(2x＋)∈[－，1]．因此，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.(理)已知a＝(，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，函数f(x)＝a·b－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈，求函数f(x)的取值范围；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．[解析]　(1)函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－＝＋sin2x－＝cos2x＋sin2x＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，-15-\n所以f(x)的单调递增区间为，(k∈Z)．(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝1，当2x＋＝即x＝时，f(x)min＝，∴≤f(x)≤1.(3)将f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝sin2x的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)18．(2022·重庆理，17)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．[解析]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2，又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…，因－≤φ<得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝.所以sin(α－)＝.由<α<得0<α－<.所以cos(α－)＝＝＝.因此cos(α＋)＝sinα-15-\n＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝×＋×＝.-15-