【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和与差的三角函数（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第4节两角和与差的三角函数新人教A版一、选择题1．(文)函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π，则a的值是(　　)A．－1　　　　　　　B．1C．2　D．±1[答案]　D[解析]　y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝＝＝π，∴a＝±1.(理)(2022·浙江温州一适)已知sin2α＝，则cos2(α－)＝(　　)A．　　　　　　　B．－C．　D．－[答案]　C[解析]　cos2(α－)＝＝＝＝，故选C．2．(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝　B．3α＋β＝C．2α－β＝　D．2α＋β＝[答案]　C[解析]　解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，所以＝＝＝tanα.解法2：∵tanα＝＝，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，-12-\n∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.3．(文)计算tan75°－tan15°－tan15°·tan75°的结果等于(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　A[解析]　∵tan60°＝tan(75°－15°)＝＝，∴tan75°－tan15°＝(1＋tan15°·tan75°)，∴tan75°－tan15°－tan15°·tan75°＝，故选A．(理)(2022·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg()，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)A．1　B．C．1或　D．1或10[答案]　C[解析]　∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga，tanβ＝lg()＝－lga，∴tan(α＋β)＝＝＝＝1，∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1.∴a＝1或.4．(文)(2022·河北衡水中学五调)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　)A．－　B．－-12-\nC．　D．[答案]　C[解析]　∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，∴sinα＋cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.(理)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于(　　)A．　B．C．　D．[答案]　C[解析]　∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，∴cos(α－β)＝＝，∵sinα＝，∴cosα＝＝.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝.∵0<β<，∴β＝，故选C．5．(2022·云南师大附中月考)已知x＝是函数f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴，且f(x)的最大值为2，则函数g(x)＝asinx＋b(　　)A．最大值是2，最小值是－2B．最大值可能是0C．最大值是4，最小值是0D．最小值不可能是－4[答案]　B[解析]　由f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴是，得f(0)＝f()，即a＝b，a2＋b2-12-\n＝8，解得a＝b＝2或a＝b＝－2，所以g(x)＝2sinx＋2或g(x)＝－2sinx－2，故选B．6．(2022·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(－α)，则sin2α等于(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　A[解析]　∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)，－α∈(－，)．又cos2α＝cos(－α)，∴2α＝－α或2α＋－α＝0，∴α＝或α＝－(舍)，∴sin2α＝sin＝，故选A．二、填空题7．函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角的大小为________．[答案]　(或135°)[解析]　f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f()＝±，∴＝±，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝＝－1，∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或)．8．(2022·陕西咸阳质检)已知α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α-12-\n＝0，则＝________.[答案]　[解析]　∵α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.9．(文)已知α、β∈(0，)，且tanα·tanβ<1，比较α＋β与的大小，用“<”连接起来为________．[答案]　α＋β<[解析]　∵tanα·tanβ<1，α、β∈，∴<1，∴sinα·sinβ<cosα·cosβ，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<.(理)已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2＋4x－5＝0的两实根，则＝________.[答案]　1[解析]　∵tanα、tanβ为方程x2＋4x－5＝0的两根，∴∴＝＝-12-\n＝＝1.三、解答题10．(2022·湖北理，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解析]　(1)因为f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)．又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，故有10－2sin(t＋)>11，即sin(t＋)<－.又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温．一、选择题11．(2022·广东中山一模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于(　　)A．－　B．C．－　D．[答案]　D[解析]　∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．-12-\n∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.12．(文)(2022·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于(　　)A．　B．C．4　D．12[答案]　C[解析]　由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝＝4.(理)(2022·福建福州一中期末)已知锐角A，B满足2tanA＝tan(A＋B)，则tanB的最大值为(　　)A．2　B．C．　D．[答案]　D[解析]　由2tanA＝tan(A＋B)可得2tanA＝，∴2tan2AtanB－tanA＋tanB＝0.∴tanB＝＝，又A为锐角，∴tanA>0，∴2tanA＋≥2，∴tanB≤，故选D．-12-\n13．已知sinβ＝(<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝(　　)A．1　B．2C．－2　D．[答案]　C[解析]　∵sinβ＝，<β<π，∴cosβ＝－，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，∴sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.14．(2022·忻州一中期中)命题：∀x∈[0，]，使3cos2＋sincos<a＋成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)　B．(，＋∞)C．(，＋∞)　D．(，＋∞)[答案]　D[解析]　3cos2＋sincos＝＋sinx＝＋(cosx＋sinx)＝＋sin(x＋)<a＋，故a>sin(x＋)，因为x∈[0，]，故x＋∈[，]，故sin(x＋)的最大值为，要使不等式恒成立，则a>，选D．二、填空题15．设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(＋2x)，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则①f()＝0②f(x)的周期为2π③f(x)既不是奇函数也不是偶函数-12-\n④存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]　①③[解析]　f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(＋2x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)，其中，tanφ＝，∵f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，∴|f()|＝，∴2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋，又f(x)的周期T＝π，故①③正确，②④错误．16．(2022·甘肃酒泉模拟)＝________.[答案]　－4[解析]　原式＝＝＝＝＝＝－4.三、解答题17．(文)(2022·广东东莞一模)已知f(x)＝2cos(sin＋cos)－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α，β∈(0，)，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，f(x)的最小正周期T＝2π.(2)∵2sin(α＋)＝2，∴sin(α＋)＝1，-12-\n∵<α＋<，∴α＋＝，∴α＝.∵2sin(β＋)＝，∴sin(β＋)＝，∵<β＋<，<，∴<β＋<，cos(β＋)＝，∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋)＝2sin(＋β)＝2cosβ＝2cos[(β＋)－]＝2cos(β＋)cos＋2sin(β＋)sin＝.(理)(2022·北京海淀一模)已知函数f(x)＝2sinx·cosx，过两点A(t，f(t))，B(t＋1，f(t＋1))的直线的斜率记为g(t)．(1)求g(0)的值；(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在[－，]上的取值范围．[解析]　(1)f(x)＝sinx，g(0)＝＝sin－sin0＝.(2)g(t)＝＝sin(t＋)－sint＝sintcos＋costsin－sint＝－sint＋cost＝－sin(t－)，因为t∈[－，]，所以t－∈[－，]，所以sin(t－)∈[－1，]，所以g(t)在[－，]上的取值范围是[－，1]．18．(文)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2x.(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．-12-\n[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－(cos2x＋1)＝2－1＝2sin－1.由－1≤sin≤1得，－3≤2sin－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．且函数f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)解得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(理)已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值．[解析]　(1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m＝2sinx(cosx－sinx)－cos2x＋m＝sinxcosx－sin2x－cos2x＋m＝sin2x－－cos2x＋m＝sin2x－cos2x－＋m＝sin(2x－)－＋m.∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)∵－≤x≤，∴－≤2x≤，-12-\n∴－≤2x－≤，∴－1≤sin(2x－)≤.∴f(x)的最小值为－1－＋m.由已知，有－1－＋m＝－3，∴m＝－.-1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