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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和与差的三角函数(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第4节 两角和与差的三角函数(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第4节两角和与差的三角函数新人教B版一、选择题1.(文)(2022·烟台市期中)log2sin+log2cos的值为( )A.-2 B.-1C.D.1[答案] A[解析] log2sin+log2cos=log2(sincos)=log2(sin)=log2=-2.(理)(2022·浙江温州一适)已知sin2α=,则cos2(α-)=( )A. B.-C.D.-[答案] C[解析] cos2(α-)====,故选C.2.(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=[答案] C[解析] 解法1:当2α-β=时,β=2α-,所以===tanα.解法2:∵tanα==,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,-11-\n∴sin(α-β)=cosα=sin(-α),∵α、β∈(0,),∴α-β∈(-,),-α∈(0,),∴α-β=-α,∴2α-β=.3.(文)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为( )A. B. C. D.[答案] B[解析] ∵C=120°,∴A+B=60°,∴tan(A+B)==,∵tanA+tanB=,∴tanAtanB=.(理)(2022·湖北重点中学联考)若tanα=lg(10a),tanβ=lg(),且α+β=,则实数a的值为( )A.1B.C.1或D.1或10[答案] C[解析] ∵tanα=lg(10a)=1+lga,tanβ=lg()=-lga,∴tan(α+β)====1,∴lg2a+lga=0,∴lga=0或-1.∴a=1或.4.(2022·河北衡水中学五调)已知sin(α+)+sinα=-,-<α<0,则cos(α+)等于( )A.-B.-C.D.[答案] C[解析] ∵sin(α+)+sinα=-,-<α<0,∴sinα+cosα=-,-11-\n∴sinα+cosα=-.∴cos(α+)=cosαcos-sinαsin=-cosα-sinα=.5.(文)(2022·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α=cos(-α),则sin2α等于( )A.B.-C.D.-[答案] A[解析] ∵α∈(0,),∴2α∈(0,π),-α∈(-,).又cos2α=cos(-α),∴2α=-α或2α+-α=0,∴α=或α=-(舍),∴sin2α=sin=,故选A.(理)设α、β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=( )A.B.C.或D.或[答案] A[解析] 依题意得sinα==,cos(α+β)=±=±.又α、β均为锐角,因此0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β),因为>>-,所以cos(α+β)=-.cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-×+×=,选A.6.(2022·池州期末)已知θ是△ABC中的最小角,则sin(θ+)的取值范围是( )A.(,1]B.[,1]-11-\nC.(,1]D.[,1][答案] B[解析] ∵θ是△ABC中的最小角,不妨设B=θ,则0<θ≤A,0<θ≤C,∴0<3θ≤A+B+C=π,即0<θ≤.∴<θ+≤,∴sin(θ+)的取值范围是[,1],故选B.二、填空题7.(2022·陕西咸阳质检)已知α∈(0,),且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=________.[答案] [解析] ∵α∈(0,),且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则(2sinα-3cosα)(sinα+cosα)=0,∴2sinα=3cosα,又∵sin2α+cos2α=1,∴cosα=,sinα=,∴==.8.函数y=cos(-2x)+sin(-2x)的最小正周期为________.[答案] π[解析] y=coscos2x+sinsin2x+cos2x=cos2x+sin2x=(cos2x+sin2x)=sin(2x+),∴T=π.9.(文)下列命题:①存在α、β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ;②存在φ∈R,使f(x)=cos(3x+φ)为奇函数;③对任意α,β∈(0,),若tanα·tanβ<1,则α+β<;④△ABC中,sinA>sinB的充要条件是A>B.其中真命题的序号是________.-11-\n[答案] ①②③④[解析] ①α=0,β=时,原式成立;②φ=时,f(x)为奇函数;③∵tanα·tanβ<1,α,β∈,∴<1,∴sinα·sinβ<cosα·cosβ,∴cos(α+β)>0,∵α+β∈(0,π),∴α+β<;④在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆的半径).(理)(2022·新乡、许昌、平顶山调研)设函数f(x)=1+sin2x,g(x)=2cos2x+m,若存在x0∈[0,],f(x0)≥g(x0),则实数m的取值范围是________.[答案] m≤[解析] 由f(x)≥g(x)得1+sin2x≥2cos2x+m,∴m≤sin2x-cos2x,∵y=sin2x-cos2x=sin(2x-),当x∈[0,]时,y∈[-1,],∴若存在x0∈[0,],使f(x0)≥g(x0),则m≤.三、解答题10.(2022·湖北理,17)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?[解析] (1)因为f(t)=10-2(cost+sint)=10-2sin(t+).又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin(t+)≤1.当t=2时,sin(t+)=1;当t=14时,sin(t+)=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin(t+),故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.-11-\n一、选择题11.(2022·广东中山一模)已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈(0,),则cos(α-β)的值等于( )A.-B.C.-D.[答案] D[解析] ∵α∈(0,),∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α==,而α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)==,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-)×(-)+×=.12.设动直线x=a与函数f(x)=2sin2(+x)和g(x)=cos2x的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为( )A.B.C.2D.3[答案] D[解析] 易知|MN|=|f(a)-g(a)|=|2sin2(+a)-cos2a|=|1-cos(+2a)-cos2a|=|1+2sin(2a-)|≤3,即最大值是3.13.(2022·山东菏泽期中)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象( )-11-\nA.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度[答案] A[解析] 由图象知A=1,=-=,∴T=π,∴ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ),∵f()=-1,∴sin(+φ)=-1,∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin(2x+).要得到g(x)=sin2x的图象,需将f(x)的图象右移个单位,故选A.14.(2022·青岛模拟)若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)等于( )A.B.C.4D.12[答案] C[解析] 由已知得4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17,∵tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ),∴tan(α-β)==4.二、填空题15.(2022·江西赣州博雅文化学校月考)α,β∈(0,),cos(2α-β)=,sin(α-2β)=-,则cos(α+β)的值等于________.[答案] [解析] ∵α、β∈(0,),∴-<2α-β<,-<α-2β<,0<α+β<,sin(α-2β)=-<0,∴sin(2α-β)=±,cos(α-2β)=,若sin(2α-β)=-,则cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=×+(-)×(-)=1与0<α+β<矛盾,∴sin(2α-β)=-,∴cos(α+β)=.-11-\n16.(文)(2022·湖南师大附中月考)计算:=________.[答案] -4[解析] 原式=====-4.(理)(2022·甘肃酒泉模拟)=________.[答案] -4[解析] 原式======-4.三、解答题17.(文)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,已知tanB=,tanC=,且c=1.(1)求tan(B+C)的值;(2)求a的值.[解析] (1)因为tanB=,tanC=,所以tan(B+C)===1.(2)因为A=180°-B-C,tanA=tan[180°-(B+C)]=-tan(B+C)=-1,又0°<A<180°,所以A=135°.-11-\n因为tanC=>0,且0°<C<180°,所以sinC=.由=得,=,∴a=.(理)已知0<α<,<β<π,且tan=,sin(α+β)=.(1)求cosα和cosβ的值;(2)求tan的值.[解析] (1)∵tan=,∴tanα==,∴sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1中消去sinα得,cos2α=,∵0<α<,∴cosα=,∴sinα=,∵<α+β<,sin(α+β)=>0,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-=-,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=-.∴cosα和cosβ的值依次为和-.(2)由(1)知cosβ=-,又已知<β<π,∴sinβ=,∴tanβ=-.∴=-,∵<β<π,∴tan>0,∴tan=,∴tan===-.18.(文)(2022·广东东莞一模)已知f(x)=2cos(sin+cos)-1,x∈R.-11-\n(1)求f(x)的最小正周期;(2)设α,β∈(0,),f(α)=2,f(β)=,求f(α+β)的值.[解析] (1)f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),f(x)的最小正周期T=2π.(2)∵2sin(α+)=2,∴sin(α+)=1,∵<α+<,∴α+=,∴α=.∵2sin(β+)=,∴sin(β+)=,∵<β+<,<,∴<β+<,cos(β+)=,∴f(α+β)=2sin(α+β+)=2sin(+β)=2cosβ=2cos[(β+)-]=2cos(β+)cos+2sin(β+)sin=.(理)(2022·北京海淀一模)已知函数f(x)=2sinx·cosx,过两点A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))的直线的斜率记为g(t).(1)求g(0)的值;(2)写出函数g(t)的解析式,求g(t)在[-,]上的取值范围.[解析] (1)f(x)=sinx,g(0)==sin-sin0=.(2)g(t)==sin(t+)-sint=sintcos+costsin-sint=-sint+cost=-sin(t-),因为t∈[-,],-11-\n所以t-∈[-,],所以sin(t-)∈[-1,],所以g(t)在[-,]上的取值范围是[-,1].-11-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:53
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