【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第1节 角的概念的推广与任意角的三角函数（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第1节角的概念的推广与任意角的三角函数新人教B版一、选择题1．已知角A同时满足sinA>0且tanA<0，则角A的终边一定落在(　　)A．第一象限　　　　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　B[解析]　由sinA>0且tanA<0可知，cosA<0，所以角A的终边一定落在第二象限．选B.2．(文)(2022·湖北襄阳四中联考)已知角x的终边上一点坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)A.B．C.D．[答案]　B[解析]　∵cosx＝sin＝，sinx＝cos＝－，∴x＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故选B.(理)(2022·河南南阳一模)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α等于(　　)A．80°B．70°C．20°D．10°[答案]　B[解析]　tanα＝＝＝＝tan70°，所以锐角α＝70°.3．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于(　　)A．－B．C．－4D．4[答案]　C[解析]　由题意可知，cosα＝＝－，又m<0，解得m＝－4，故选C.4．(文)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)A．－B．－-8-\nC.D．[答案]　B[解析]　依题意：tanθ＝2，∴cosθ＝±，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或cos2θ＝＝＝＝－，故选B.(理)(2022·青岛调研)点P从(2,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)A．(－1，)B．(－，－1)C．(－1，－)D．(－，1)[答案]　C[解析]　由三角函数的定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝2cos＝－1，y＝2sin＝－，故Q点坐标为(－1，－)，选C.5．(2022·泰安期中)已知α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)A.B．C．－D．－[答案]　D[解析]　由任意角的三角函数的定义可知＝x，解得x＝3(舍去)或x＝－3，所以tanα＝－，故选D.6．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于(　　)A．5　　B．2　　　　C．3　　D．4[答案]　B[解析]　设扇形的半径为R，圆心角为α，则有2R＋Rα＝R2α，即2＋α＝Rα整理得R＝2＋，由于≠0，∴R≠2.二、填空题7．(2022·鞍山模拟)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．[答案]　2[解析]　设扇形的半径为r，由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．-8-\n8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.[答案]　－8[解析]　|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.9．(2022·南昌调研)若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________．[答案]　(－1，)[解析]　设P(x，y)，则x＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝.故点P的坐标为(－1，)．10．(2022·哈尔滨四校统考)已知sin(α＋)＝，则cos(－2α)的值为________．[答案]　－[解析]　∵sin(α＋)＝cos[－(α＋)]＝cos(－α)＝，∴cos(－2α)＝2cos2(－α)－1＝－.一、选择题11．(文)(2022·湖南模拟)设α是第二象限角，且|sin|＝－sin，则是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]　C[解析]　∵α是第二象限角，∴是第一、三象限角，又∵sin≤0，∴是第三象限角，故选C.(理)(2022·海口调研)设角α是第二象限角，且|cos|＝－cos，则角的终边在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　C[解析]　由α为第二象限角知＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角．由题意知cos≤0，故为第三象限角．12．(2022·银川模拟)已知命题p：“sinα＝sinβ，且cosα＝cosβ”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的(　　)-8-\nA．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　当α＝β时，一定有p成立；但p成立时，不一定有α＝β，如α＝，β＝时，sinα＝sinβ＝1，cosα＝cosβ＝0，故选A.13．(2022·安徽理，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f()＝(　　)A.B．C．0D．－[答案]　A[解析]　由题意意f()＝f()＋sin＝f()＋sin＋sin＝f()＋sin＋sin＋sin＝0＋－＋＝.14．(2022·四川成都二诊)已知过定点(2,0)的直线与抛物线x2＝y相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1，x2是方程x2＋xsinα－cosα＝0的两个不相等实数根，则tanα的值是(　　)A.B．－C．2D．－2[答案]　A[解析]　∵x1，x2是方程x2＋xsinα－cosα＝0的两个不相等实数根，∴故过定点(2,0)的直线斜率k＝＝x1＋x2＝－sinα.∴直线方程为y－0＝－sinα(x－2)，即y＋xsinα－2sinα＝0.①又x2＝y，②联立①②得方程x2＋xsinα－2sinα＝0，∴－cosα＝－2sinα，即cosα＝2sinα，得tanα＝.故选A.二、填空题15．直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为α，OB为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案]　－[解析]　将y＝2x＋1代入x2＋y2＝1中得，5x2＋4x＝0，∴x＝0或－，∴A(0,1)，B，故sinα＝1，cosα＝0，sinβ＝－，cosβ＝－，-8-\n∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－.[点评]　也可以由A(0,1)知α＝，∴sin(α＋β)＝sin＝cosβ＝－.16．(2022·江西七校一联)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则cos(2α＋)的值等于________．[答案]　－[解析]　因为点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，所以sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.cos(2α＋)＝sin2α＝2sinαcosα＝＝＝－.三、解答题17．(文)A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.(1)若A点的坐标为，求的值；(2)求|BC|2的取值范围．[解析]　(1)∵A点的坐标为，∴tanα＝，∴＝＝＝-8-\n＝＝－.(2)设A点的坐标为(cosα，sinα)，∵△AOB为正三角形，∴B点的坐标为(cos(α＋)，sin(α＋))，且C(1,0)，∴|BC|2＝[cos(α＋)－1]2＋sin2(α＋)＝2－2cos(α＋)．而A、B分别在第一、二象限，∴α∈(，)．∴α＋∈(，)，∴cos(α＋)∈(－，0)．∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)．(理)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．[解析]　(1)因为·＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，所以点P，点Q，又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.-8-\n18．(文)(2022·安徽合肥第二次质量检测)如图所示，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B(x2，y2)，f(α)＝x1－x2.(1)若角α为锐角，求f(α)的取值范围；(2)比较f(2)与f(3)的大小．[解析]　(1)如图所示，∠AOB＝.由三角函数定义可知x1＝cosα，x2＝cos(α＋)，f(α)＝x1－x2＝cosα－cos(α＋)＝cosα－cosαcos＋sinαsin＝cosα＋sinα＝sin(α＋)．由角α为锐角知0<α<，∴<α＋<.∴<sin(α＋)≤1，∴<sin(α＋)≤，∴<f(α)≤.(2)f(2)＝sin(2＋)，f(3)＝sin(3＋)，∵<2＋<3＋<，函数y＝sinx在(，)上单调减，∴f(2)>f(3)．(理)(2022·江苏南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转-8-\n，交单位圆于点B(x2，y2)．(1)若x1＝，求x2；(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．[解析]　(1)因为x1＝，y1>0，所以y1＝＝.所以sinα＝，cosα＝.所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－.(2)S1＝sinαcosα＝sin2α.因为α∈(，)，所以α＋∈(，)．所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α.因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－.所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－.因为α∈(，)，所以tanα＝2.-8-