【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数北师大版一、选择题1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)　B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)　D．kπ＋(k∈Z)[答案]　C[解析]　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)A．0　B．2C．－2　D．2或－2[答案]　A[解析]　∵α是第三象限角，∴是第二或第四象限角．当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.3．(文)若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为(　　)A．　B．－C．－　D．－[答案]　C[解析]　P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－)，∴r＝2，故sinα＝－，故选C．(理)点P(tan2015°，cos2015°)位于(　　)A．第一象限　B．第二象限-6-\nC．第三象限　D．第四象限[答案]　D[解析]　∵2015°＝5×360°＋215°，∴2015°的角的终边在第三象限．∴tan2015°>0，cos2015°<0，∴点P在第四象限．4．与610°角终边相同的角可表示为(　　)A．k·360°＋230°，k∈Z　　B．k·360°＋250°，k∈ZC．k·360°＋70°，k∈Z　D．k·360°＋270°，k∈Z[答案]　B[解析]　由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同．5．(文)若α是第三象限的角，则π－α是(　　)A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角[答案]　B[解析]　由已知，得2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)∴－kπ＋<π－<－kπ＋(k∈Z)．∴π－是第一或第三象限的角．(理)若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(　　)A．第一象限　B．第二象限C．第三象限　D．第四象限[答案]　B[解析]　判断cosα>0，sinα<0，数形结合．6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为(　　)A．－　B．C．－　D．-6-\n[答案]　B[解析]　r＝，∴cosα＝＝－，∴m>0.∴＝，∴m＝±.∵m>0，∴m＝.二、填空题7．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)，则－＝________.[答案]　2[解析]　因为角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，所以角α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，故－＝－＝1＋1＝2.8．函数y＝＋的定义域是________．[答案]　[x|＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)[解析]　由题意知即∴x的取值范围为{x|＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}．9．(2022·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.[答案]　[解析]　由条件可求得r＝5m，所以sinα＝，cosα＝－，所以2sinα＋cosα＝.三、解答题10．(1)设90°<α<180°.角α的终边上一点为P(x，)，且cosα＝x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.[解析]　(1)∵r＝，cosα＝.从而x＝，解得x＝0或x＝±.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－.-6-\n故r＝2，sinα＝＝，tanα＝＝－.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－，又∴tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－.一、选择题1．(文)已知角α的终边上一点P的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　D[解析]　由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.(理)已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于(　　)A．2　B．－2C．2－　D．－2[答案]　C[解析]　点P位于第一象限，且tanα＝－cot2＝－tan＝tan，∵2－∈，∴α＝2－.2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2　B．sin2-6-\nC．　D．2sin1[答案]　C[解析]　由已知可得该圆的半径为.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×＝.二、填空题3．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．[答案]　2[解析]　依题意：解得：m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，又sinα<0，∴α的终边落在第三象限，∴n<0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.4．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是________．[答案]　β＝α＋kπ，k∈Z[解析]　当α、β的终边重合时，β＝α＋k·2π，k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β＝π＋α＋k·2π＝α＋(2k＋1)π，k∈Z.综上，β＝α＋kπ，k∈Z.三、解答题5．已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析]　解法1：设l为扇形的弧长，由S＝l·r得l＝，故扇形的周长C＝2r＋.即2r2－C·r＋2S＝0.由于r存在，故方程有解，因此有Δ＝C2－16S≥0，即C≥4.∴周长C的最小值为4.此时，r＝＝，中心角α＝＝2rad所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4.-6-\n解法2：设l为扇形的弧长，由S＝l·r得l＝，故扇形的周长C＝2r＋≥2＝4.当且仅当2r＝，即S＝r2时取“＝”，此时，α＝＝＝＝2raD．所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4.6．(2022·绍兴月考)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．[解析]　由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．所以，sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－2，sinβ＝＝，cosβ＝＝，tanβ＝＝，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝×＋×＋(－2)×＝－1.-6-