【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第2节 复数的概念与运算(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第2节复数的概念与运算新人教B版一、选择题1.(文)(2022·唐山市二模)已知a∈R,若为实数,则a=( )A.2 B.-2 C.-D.[答案] D[解析] ==,由已知得1+2a=0,∴a=-.(理)(2022·郑州模拟)设i是虚数单位,若复数为实数,则实数a为( )A.2 B.-2 C.- D.[答案] A[解析] ∵a∈R,==∈R,∴a=2.2.(2022·唐山市一模)设(2+i)=3+4i,则z=( )A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i[答案] D[解析] ∵====2+i,∴z=2-i.3.(文)(2022·东北三省三校二模)已知复数z=-+i,则+|z|=( )A.--iB.-+iC.+iD.-i[答案] D[解析] ∵z=-+i,∴=--i,|z|=1,∴+|z|=-i.(理)(2022·郑州质检)若复数z满足(2-i)z=|1+2i|,则z的虚部为( )-6-\nA. B.i C.1 D.i[答案] A[解析] ∵(2-i)z=|1+2i|=,∴z===+i,∴复数z的虚部为.4.(2022·长沙模拟)已知集合M={i,i2,,},i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是( )A.3个B.2个 C.1个D.0个[答案] B[解析] 由已知得M={i,-1,-i,2},Z为整数集,∴Z∩M={-1,2},即集合Z∩M中有2个元素.5.(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知i为虚数单位,复数z满足zi=()2,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限[答案] C[解析] zi=()2==,∴z===-4+3i,∴=-4-3i,故选C.6.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是( )A.B. C.D.[答案] D[解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴.∴2θ=2kπ+π (k∈Z),∴θ=kπ+.令k=0知,D正确.二、填空题7.(文)在复平面内,z=cos10+isin10的对应点在第______象限.[答案] 三[解析] ∵3π<10<,∴cos10<0,sin10<0,∴z的对应点在第三象限.(理)一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续抛掷两次,记第一次向下的面上数字为a,第二次向下的面上数字为b,设复数z=a+bi,则z的对应点在第二象限的概率为________.[答案] [解析] 若z=a+bi的对应点在第二象限,则a<0,b>0,这样的点有2个,即(-1,1),(-1,2),∴-6-\n所求概率为P==.8.(2022·黑龙江佳木斯第一中学调研)已知i为虚数单位,若=2+i(a,b∈R),则ab=________.[答案] 3[解析] a+bi=(2+i)(1+i)=1+3i,∵a、b∈R,∴a=1,b=3,∴ab=3.9.(2022·江苏东海二中调研)已知z是纯虚数,是实数(i是虚数单位),那么z=________.[答案] -2i[解析] 令z=bi(b∈R且b≠0),===是实数,所以b=-2,z=-2i.三、解答题10.(2022·青岛调研)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)纯虚数.[解析] (1)当z为实数时,则有∴∴a=6,即a=6时,z为实数.(2)当z为纯虚数时,则有∴∴不存在实数a使z为纯虚数.一、选择题11.(2022·山西大学附中月考)设复数ω1=-+i,ω2=cos+isin,若z=ω1·ω2,则复数z的虚部为( )A.-B.C.-D.[答案] D[解析] 解法1:cos=,sin=,∴ω1·ω2=(-+i)·(+i)=--i+i-=-+i,∴复数ω1·ω2的虚部为.解法2:若z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,则z1z2=cosαcosβ-sinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)=cos(α+β)+isin(α+β).∵ω1=-+i=cos+isin,ω2=cos+isin,-6-\n∴z=ω1ω2=cos(+)+isin(+)=cos+isin=-+i,∴z的虚部为.12.已知复数z1=cosα+isinα,z2=sinβ+icosβ,(α,β∈R),复数z=z1·2的对应点在第二象限,则角α+β所在象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析] ∵z=(cosα+isinα)·(sinβ-icosβ)=sin(α+β)-icos(α+β)的对应点在第二象限,∴,∴角α+β的终边在第三象限.13.(2022·豫东、豫北十所名校阶段测试)设i为虚数单位,复数z的共轭复数为,且(-1)(1+i)=2i,则复数z的模为( )A.5B. C.2-iD.1[答案] B[解析] -1===i+1,∴=2+i,∴z=2-i,∴|z|=.14.(2022·北京大兴期末)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是( )[答案] A[解析] 由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1),故A正确.二、填空题15.(2022·武汉调研)若复数z=(m2-7m+15)+(m2-5m+3)i(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于直线y=-x上,则m=________.[答案] 3[解析] 复数z在复平面内对应的点是(m2-7m+15,m2-5m+3),则m2-5m+3=-(m2-7m+15),解得m=3.16.关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(-,2),则复数m+ni所对应的点位于复平面内的第________象限.-6-\n[答案] 三[解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-,2),∴∵m<0,∴p>0,n<0.故复数m+ni所对应的点位于复平面内的第三象限.三、解答题17.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求z的实部的取值范围;(2)设u=,那么u是不是纯虚数?并说明理由.[解析] (1)设z=a+bi(a、b∈R,b≠0),ω=a+bi+=+i,∵ω是实数,∴b-=0.又b≠0,∴a2+b2=1,ω=2a.∵-1<ω<2,∴-<a<1,即z的实部的取值范围是.(2)u====-i,∵-<a<1,b≠0,∴u是纯虚数.18.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.(1)设复数z=a+bi(i为虚数单位),求事件“z-3i为实数”的概率;(2)求点P(a,b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率.[解析] (1)z=a+bi(i为虚数单位),z-3i为实数,则a+bi-3i=a+(b-3)i为实数,则b=3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6,故b=3的概率为.即事件“z-3i为实数”的概率为.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知,连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果.-6-\n不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).由图知,点P(a,b)落在四边形ABCD内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共18种.所以点P(a,b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P==.-6-
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