【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第12章 第2节 复数的概念与运算（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第2节复数的概念与运算北师大版一、选择题1．(2022·湖北高考)i为虚数单位，()2＝(　　)A．－1B．1C．－iD．i[答案]　A[解析]　本题考查复数的运算．()2＝＝－1.2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i[答案]　D[解析]　＝＋＝－＝－1－3i－(2＋i)＝－3－4i.3．(文)(2022·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　A[解析]　i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i对应的点(1,2)位于第一象限．(理)(2022·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　D[解析]　∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴复数对应复平面内的点(3，－4)．选D．4．(文)(2022·福建高考)复数(3＋2i)i等于(　　)A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i[答案]　B[解析]　本题考查复数的乘法运算．(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.(理)(2022·福建高考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)A．－2－3iB．－2＋3i-5-\nC．2－3iD．2＋3i[答案]　C[解析]　本题考查复数的运算及共轭复数的概念．∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，∴＝2－3i，复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi.5．(文)若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i[答案]　B[解析]　本题主要考查复数的基础知识，利用复数相等及复数的乘法运算．xi＋1＝y＋2i，所以x＝2，y＝1.(理)若z＝，则复数＝(　　)A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i[答案]　D[解析]　本题主要考查复数的运算.＝＝＝2＋i，故选D．6．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B　[解析]　本题考查了复数的概念，充分必要条件与分类讨论的思想．由ab＝0知a＝0且b＝0或a＝0且b≠0或a≠0且b＝0，当a＝0且b≠0时，复数a＋为纯虚数，否则a＋为实数，反之若a＋为纯虚数，则b≠0且a＝0，则ab＝0，故“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的必要不充分条件．二、填空题7．(文)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.[答案]　3[解析]　本题主要考查了复数的运算和复数的相等的条件．＝＝＋＝a＋bi，即解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.(理)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.[答案]　10　[解析]　本题考查复数的模的运算．由题意知：z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝()2＝10.注意求复数的模的方法的技巧，如|(a＋bi)2|＝|a＋bi|2.8．若复数(a∈R，i是复数单位)是纯虚数，则实数a＝________.-5-\n[答案]　－6[解析]　＝＝＋i.∴∴a＝－6.9．设t是实数，且＋是实数，则t＝________.[答案]　2[解析]　＋＝＋＝＋i，当t＝2时，该数为实数1.三、解答题10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限内．[解析]　(1)若z为实数，则得m＝－2.(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0，∴m≠－2且m≠－3.(3)若z是纯虚数，则，解得m＝3.(4)若z对应的点在第二象限，则，即，∴m<－3或－2<m<3.一、选择题1．(文)(2022·江西高考)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)A．1B．2C．D．[答案]　C[解析]　本题主要考查复数的乘除运算及复数的模，由原题可得z＝，即z＝，化简得z＝1＋i，∴|z|＝＝，故选C．(理)(2022·江西高考)是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i[答案]　D[解析]　本题考查复数、共轭复数的运算．设z＝a＋bi，则＝a－bi.由题设条件可得a＝1，b＝－1.选D．2．设z是复数，f(z)＝zn(n∈N＋)，对于虚数单位i，则f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是(　　)-5-\nA．2B．4C．6D．8[答案]　D[解析]　∵f(z)＝zn，∴f(1＋i)＝(1＋i)n由i的运算性质可知(1＋i)2＝2i，要使(1＋i)n取得最小正整数，则n＝8.二、填空题3．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．[答案]　[解析]　|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知()max＝＝.4．(文)(2022·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.[答案]　5－5i[解析]　本题考查了复数的乘法运算．(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.(理)已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，对应复数为－3＋i，则a＝______.[答案]　－1[解析]　由条件可知z2－z1＝－3＋i，即(a－2)＋(2－a2)i＝－3＋i，∴，∴a＝－1.三、解答题5．已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋.(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a，B．[解析]　(1)∵＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，-5-\n又z1＋z2＝1＋i，∴，∴，∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，∴＋＝＋＝＋＝＋＝－＋i.(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，∴，∴.6．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[解析]　∵M∪P＝P，∴M⊆P.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.-5-