【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第1节 数列的概念与简单表示法（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第1节数列的概念与简单表示法北师大版一、选择题1．(文)数列，，2，…，则2是该数列的(　　)A．第6项　　　　　　B．第7项C．第10项D．第11项[答案]　B[解析]　原数列可写成，，，…，∵2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.(理)数列1，，，，…的一个通项公式是(　　)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝[答案]　D[解析]　∵1可以看成，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即an＝.2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是(　　)A．an＝n2－n＋1B．an＝C．an＝D．an＝[答案]　C[解析]　从图中可观察星星的构成规律：n＝1时有1个，排除B、D；n＝3时有6个，排除A．3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为(　　)A．30B．31C．32D．33[答案]　B-8-\n[解析]　由递推公式求得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31，故选B．4．(文)数列1，，，，，…的一个通项公式an等于(　　)A．B．C．D．[答案]　B[解析]　由已知得，数列可写成，，，….故通项为.(理)已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2022等于(　　)A．－B．C．2D．－2[答案]　C[解析]　∵an＋2＝－＝an，∴数列奇数项相同，偶数项相同．∴a2015＝a1＝2.5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2022＝(　　)A．5B．－5C．1D．－4[答案]　D[解析]　由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a2022＝a6＝－4，故选D．6．数列{－2n2＋29n＋3}中最大项是(　　)A．107B．108C．108D．109[答案]　B[解析]　an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－)2＋108，∵＝7且n∈N*，∴当n＝7时，an最大，最大值为a7＝108.故选B．-8-\n二、填空题7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，若它的第k项满足5<ak<8，则k的值为________．[答案]　8[解析]　因为Sn＝n2－9n，则Sn－1＝(n－1)2－9(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－10.当n＝1时，a1＝S1＝－8满足上式．所以an＝2n－10(n∈N＋)．由已知5<ak<8，即5<2k－10<8.解得7.5<k<9.又k∈N＋，所以k＝8.8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a2022＝________.[答案]　－[解析]　由已知条件可推得a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－故可知数列{an}的周期为3，所以a2022＝a2＝－.9．(文)数列{an}中，an＝，Sn＝9，则n＝________.[答案]　99[解析]　an＝＝－，∴Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9，∴n＝99.(理)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．[答案]　[解析]　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.三、解答题-8-\n10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．[解析]　(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：an－an－1＝3n－2，由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，累加得：an－a1＝4＋7＋…＋3n－2＝＝，∴an＝(n≥2)．当n＝1时，1＝a1＝＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝.一、选择题1．若数列{an}(n∈N＋)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an＋1)在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是(　　)A．当且仅当n＝1时，Sn最小B．当且仅当n＝8时，Sn最大C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大D．Sn有最小值，无最大值[答案]　C[解析]　由题意得：an－an＋1－2＝0，则an＋1－an＝－2，所以数列{an}是以a1＝14，d＝－2的等差数列，则Sn＝14n＋×(－2)＝－n2＋15n，所以当且仅当n＝7或8时，Sn最大．2．(文)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2015的值是(　　)A．2012×2013B．2014×2015-8-\nC．20142D．2013×2014[答案]　B[解析]　解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4，猜想a2015＝2014×2015，故选B．解法2：an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．∴an－a1＝2＝n(n－1)．∴an＝n(n－1)．故a2015＝2014×2015.(理)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是(　　)A．(5,5)B．(5,6)C．(5,7)D．(5,8)[答案]　C[解析]　按规律分组：第一组(1,1)，第二组(1,2)，(2,1)，第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)，则前10组共有＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．二、填空题3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.[答案]　3·21－n[解析]　4Sn－4Sn－1＝4an＝6an－an－1，∴＝，∴an＝a1()n－1＝3·21－n.-8-\n4．(文)已知an＝(n∈N＋)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案]　10　9[解析]　an＝＝＝1＋当1≤n≤9时，<0，an递减．当n≥10时，>0，an递减．∴最大项为a10，最小项为a9.(理)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________.[答案]　4[解析]　本题考查了求数列中最大项问题，可利用来求解；由题意可列不等式组，即，化简可得解之得≤k≤1＋，又∵k∈N＋，∴k＝4.三、解答题5．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．[解析]　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴an＝，∴bn＝.(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴cn＋1－cn＝＋－<0，∴{cn}是递减数列．6．(文)(2022·河北质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．-8-\n[解析]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.∵Sn＝an－1，①∴当n≥2时，Sn－1＝an－1－1，②①－②，得an＝(an－1)－(an－1－1)，所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，所以＝3，故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1.(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1.当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，…b3＝b2＋2·31，b2＝b1＋2·30，将以上n－1个式子相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×＝3n－1＋4.当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1，所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．(理)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N＋.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式.[解析]　(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)解法1：当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，-8-\n即－＝1，又－＝1故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.解法2：因为＝an＋1－n2－n－，所以＝Sn＋1－Sn－n2－n－.整理得Sn＝Sn＋1－(n＋1)(n＋2)，所以－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝＋(n－1)＝，所以Sn＝，所以Sn－1＝，(n≥2)．所以an＝Sn－Sn－1＝n2(n≥2)．因为a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝n2(n∈N＋)．-8-