高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法知能训练轻松闯关理北师大版

第1讲数列的概念与简单表示法1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝(　　)A．33　　　　　　　　　　B．34C．35D．36解析：选B.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.3．(2022·杭州模拟)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为(　　)A．7B．8C．9D．10解析：选C.因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9，故选C.4．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是(　　)A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列解析：选D.因为Sn＋Sn＋1＝an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an，两式相减，得an＋an＋1＝an＋1－an，所以an＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，所以a1＝0.所以an＝0，(n∈N*)．5．(2022·长春质量检测)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题意知Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.3\n6．已知数列{an}的通项公式an＝n2－(6＋2λ)n＋2016，若a6或a7为数列{an}的最小项，则实数λ的取值范围是(　　)A．(3，4)B．[2，5]C．[3，4]D.解析：选D.依题意，由二次函数的性质可知，当＜3＋λ＜，即＜λ＜时，a6或a7为数列{an}的最小项，故实数λ的取值范围为.7．已知数列，，，，…，则5是数列的第________项．　解析：易知数列的一个通项公式为an＝.令＝5，即＝，所以4n－1＝75，故n＝19.答案：198．(2022·焦作模拟)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，则an＝________．解析：Sn＋1＝2Sn＋1.①当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋1.②①－②，得an＋1＝2an.所以an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a2＝2a1，所以an＝2n－1a1＝2n－1.当n＝1时，也适合上式，所以an＝2n－1.答案：2n－19．(2022·北京东城区模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示，数列{an}满足a1＝3，an＋1＝f(an)，则a4＝________，a2015＝________.x123f(x)321解析：因为a1＝3，所以a2＝f(a1)＝f(3)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝3，a4＝f(a3)＝f(3)＝1，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，所以a2015＝a1＝3.答案：1　310．(2022·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝(n∈N＋)，则an＝________．解析：由an－an＋1＝得－＝＝2×，则由累加法得－＝2，又因为a1＝1，所以＝2＋1＝，所以an＝.答案：11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；3\nS2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.3