【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第1章 第1节 集合的概念及其运算（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第1章第1节集合的概念及其运算北师大版一、选择题1．(文)(2022·北京高考)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝(　　)A．{0,1,2,3,4}B．{0,4}C．{1,2}　D．{3}[答案]　C[解析]　A∩B＝{0,1,2,4}∩{1,2,3}＝{1,2}．(理)(2022·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)A．{0}B．{0,1}C．{0,2}　D．{0,1,2}[答案]　C[解析]　集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，故A∩B＝{0,2}，选C.2．(文)(2022·湖南高考)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝(　　)A．{x|x>2}B．{x|x>1}C．{x|2<x<3}　D．{x|1<x<3}[答案]　C[解析]　结合数轴可知A∩B＝{x|2<x<3}．(理)(2022·陕西高考)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝(　　)A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]　D．(0,1)[答案]　B[解析]　x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．3．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁UQ)＝(　　)A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}　D．{1,2}[答案]　D[解析]　本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁UQ)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝(　　)A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)　D．(1,2)∪(3,4)[答案]　B[解析]　本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁RB＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．4．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则(　　)A．ABB．BAC．A＝B　D．A∩B＝∅[答案]　B-5-\n[解析]　由题意可得，A＝{x|－1<x<2}，而B＝{x|－1<x<1}，故BA.5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的非空真子集共有(　　)A．2个B．4个C．6个　D．8个[答案]　A[解析]　由已知得P＝M∩N＝{1,3}，所以P的非空真子集有22－2＝2个．故选A.6．(文)(2022·浙江名校联考)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是(　　)A．a≤1B．a<1C．a≥2　D．a>2[答案]　C[解析]　由于A∪∁RB＝R，∴B⊆A，∴a≥2，故选C.(理)(2022·唐山调研)己知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>}，则(　　)A．A⊆BB．B⊆AC．A∩∁RB＝R　D．A∩B＝∅[答案]　D[解析]　∵x2－3x＋2<0，∴1<x<2.又log4x>＝log42，∴x>2，∴A∩B＝∅，选D.二、填空题7．已知集合A＝{3，，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．[答案]　－[解析]　因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝或a＝－；当a＝时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－.8．(文)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.[答案]　－3[解析]　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.(理)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．[答案]　[2，＋∞)[解析]　∵∁RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．[答案]　6[解析]　由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．三、解答题10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．-5-\n[分析]　(1)求A、B→确定A∪B，∁UB→求得A∩(∁UB)；(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的范围；(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的范围．[解析]　(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，∴A＝{x|－2<x<4}．当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁UB＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.一、选择题1．(文)(2022·沈阳质检)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)A．(0，)B．[，)C．[，＋∞)　D．(1，＋∞)[答案]　B[解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a，a>0，f(0)＝－1<0，所以根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以所以≤a<.选B.(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于(　　)A．AB．BC．(∁UA)∩B　D．A∩(∁UB)[答案]　B[解析]　画一个一般情况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.2．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4a2＋4a＋2，a∈R}，则下列关系正确的是(　　)A．M＝NB．MNC．MN　D．M⊆N[答案]　A[解析]　由x＝5－4a＋a2(a∈R)，得x＝(a－2)2＋1≥1，故M＝{x|x≥1}．-5-\n由y＝4a2＋4a＋2(a∈R)，得y＝(2a＋1)2＋1≥1.故N＝{y|y≥1}，故M＝N.故选A.二、填空题3．(文)A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝______.[答案]　{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]　A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．(理)已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．[答案]　(2,3)[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2<a<3.4．(2022·长沙模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(x－2,1)，设集合P＝{x|a⊥b}，Q＝{x||b|<}，当x∈P∩Q时，y的取值范围是________．[答案]　(－8,1][解析]　由a⊥b可得a·b＝x(x－2)＋y＝0，即y＝－x2＋2x，故P＝{x|y＝－x2＋2x}＝R.由|b|<得|b|2<5，即(x－2)2＋12<5，解得0<x<4，故Q＝{x|0<x<4}，P∩Q＝Q.所以当x∈P∩Q时，y的取值范围即为函数y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域．因为函数y＝－x2＋2x图像的对称轴为x＝1，所以函数在(0,1]上单调递增，在(1,4)上单调递减，故y的最大值为－12＋2×1＝1，而x＝0时，y＝－02＋2×0＝0；x＝4时，y＝－42＋2×4＝－8.所以y的取值范围为(－8,1]．三、解答题5．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.[解析]　(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，此时A∩B＝{9}，当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．综上知a＝－3.6．(文)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．-5-\n[分析]　由A∪B＝B，可以得出A⊆B，而A⊆B中含有特例A＝∅，应注意．[解析]　由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.(理)(临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．[解析]　∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B，应满足⇒≤a≤2，当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B，应满足，不等式组无解，即不存在符合条件的a，∴综上可知，当A⊆B时，a的取值范围是≤a≤2.(2)要满足A∩B＝∅，当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，∴0<a≤或a≥4；当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，若A∩B＝∅，则a≤2或a≥，∴a<0；验证知当a＝0时也成立．综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，显然a>0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.-5-