【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第5章 第1节 平面向量的概念及其线性运算（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第1节平面向量的概念及其线性运算北师大版一、选择题1．下列命题中为假命题的是(　　)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相同[答案]　D[解析]　由定义可知，A、B、C正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D错误．2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)A．＋＝0B．＋＝0C．＋＝0D．＋＋＝0[答案]　C[解析]　解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边上的中点，长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故＋＝0.解法2：∵＋＝2，∴＋＋＋＝0，即＋＝0.3．(2022·新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　如图，-6-\n＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝.4．(文)下列命题中真命题是(　　)①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝0③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0A．①③B．②③C．①④D．②④[答案]　B(理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[答案]　D[解析]　考查向量相等及向量平行的条件．∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴，∴k＝－1，λ＝－1.故选D．5．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[答案]　A[解析]　＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.-6-\n6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　)A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形[答案]　C[解析]　＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴∥，且||＝2||，∴四边形ABCD为梯形．故选C．二、填空题7．化简：(1)－－＝________(2)(－)－(－)＝________[答案]　(1)　(2)0[解析]　运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．(1)－－＝－＝.(2)解法1：(－)－(－)＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0.解法2：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.8．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.[答案]　－[解析]　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴，解得.9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．[答案]　直角三角形[解析]　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．-6-\n三、解答题10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[分析]　运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kC．[解析]　d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.一、选择题1．(2022·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)A．B．2C．3D．4[答案]　D[解析]　本题考查了平面向量平行四边形法则，＋＋＋＝(＋OC)＋(＋)＝2＋2＝4.2．(文)已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上[答案]　B[解析]　本题考查平面向量的共线问题，由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B．-6-\n(理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直[答案]　A[解析]　＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A．二、填空题3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．[答案]　[解析]　由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.4．在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若＋＋m＝0，则实数m的值为______．[答案]　－3[解析]　由＋＋＝0知M为△ABC的重心，设BC的中点为D，则有＋＝2，而＝，故2＋m＝0，∴m＝－3.三、解答题5．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？[解析]　设a－tb＝λ[a－(a＋b)](λ∈R)，化简整理得(λ－1)a＋(t－λ)b＝0，-6-\n∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有∴故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．6．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.[解析]　取AE的三等分点M，使AM＝|AE|，连接DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.＝＋＝＋＝＋(＋AC)＝＋(－＋)＝＋＝a＋B．-6-