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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第1节 导数及导数的运算(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第1节 导数及导数的运算(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第1节导数及导数的运算北师大版一、选择题1.曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为( )A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1)或(-1,-1) D.(1,-1)[答案] C[解析] y′=3x2,∴3x2=3.∴x=±1.当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1.2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( )A.-1 B.-2C.2 D.0[答案] B[解析] ∵f′(x)=4ax3+2bx为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2.3.(文)(2022·黄石模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=( )A.e2 B.eC. D.ln2[答案] B[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.(理)若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第二象限,则函数f′(x)的图像是( )[答案] C[解析] 由题意可知在第二象限⇒⇒b>0,又f′(x)=2x+b,故选C.-9-\n4.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足( )A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f(x)-g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数[答案] C[解析] 由f′(x)=g′(x),得f′(x)-g′(x)=0,即[f(x)-g(x)]′=0,所以f(x)-g(x)=C(C为常数).5.(文)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)等于( )A.sinx B.-sinxC.cosx D.-cosx[答案] D[解析] ∵fn(x)=fn+4(x),∴f2015(x)=f3(x)=-cosx.(理)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=( )A.26 B.29C.212 D.215[答案] C[解析] ∵{an}是等比数列,且a1=2,a8=4,∴a1·a2·a3·…·a8=(a1·a8)4=84=212.∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数.∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a8=212.6.(文)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0) B.(1,1)C.(0,1) D.(1,0)[答案] D[解析] 由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′(x0)=4x-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).(理)若函数f(x)=exsinx,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( )-9-\nA. B.0C.钝角 D.锐角[答案] C[解析] f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=exsin(x+).f′(4)=e4sin(4+)<0,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为钝角,故选C.二、填空题7.(文)已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为________.[答案] [解析] f′(x)=3ax2+6x,又∵f′(-1)=3a-6=4,∴a=.(理)若函数f(x)=x3-f′(-1)·x2+x+5,则f′(1)=________.[答案] 6[解析] ∵f(x)=x3-f′(-1)x2+x+5,∴f′(x)=x2-2f′(-1)x+1,∴f′(-1)=(-1)2-2f′(-1)(-1)+1,解得f′(-1)=-2.∴f′(x)=x2+4x+1,∴f′(1)=6.8.(文)(2022·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.[答案] 5x+y+2=0[解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程.∵y′=-5ex,∴y′|x=0=-5,∴k=-5,∴切线方程y=-5x-2.(理)(2022·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.[答案] y=-5x+3[解析] 本题考查导数的几何意义及直线方程求法.∵y=e-5x+2,∴y′=-5e-5x|x=0=-5.∴k=-5,又过点(0,3),∴切线方程y-3=-5x,-9-\n∴y=-5x+3.9.(文)函数f(x)=在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)=________.[答案] [解析] ∵f(x)=,f′(x)=,切线斜率f′(x0)==0,∴x0=e,∴f(x0)=f(e)=.(理)(2022·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.[答案] 2[解析] ∵f(ex)=x+ex,∴f(x)=x+lnx,f′(x)=1+,∴f′(1)=1+1=2.三、解答题10.已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.[分析] (1)在点P处的切线以点P为切点.(2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切点坐标.[解析] (1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=y′=x.∴切线方程为y-=x(x-x0),即y=x·x-x+.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,即x-3x+4=0.∴x+x-4x+4=0.∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0.-9-\n∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.一、选择题1.(文)若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=( )A.64 B.32C.16 D.8[答案] A[解析] 求导得y′=-x-(x>0),所以曲线y=x-在点(a,a-)处的切线l的斜率k=y′|x=a=-a-,由点斜式,得切线l的方程为y-a-=-a-(x-a),易求得直线l与x轴,y轴的截距分别为3a,a-,所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S=×3a×a-=a=18,解得a=64.(理)设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围为( )A.[-2,2] B.[,]C.[,2] D.[,2][答案] D[解析] ∵f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x,∴f′(1)=sinθ+cosθ=2sin.∵θ∈,∴θ+∈.∴sin∈,∴f′(1)∈[,2],故选D.2.(文)(2022·南昌质检)若函数f(x)=excosx,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )A.0 B.锐角C.直角 D.钝角-9-\n[答案] D[解析] 由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx).∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵>1>.而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角.(理)(2022·哈师大附中高三月考)已知函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图像与直线x=1交于点P,若曲线f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2015x1+log2022x2+…+log2022x2022的值为( )A.1-log20222022 B.-1C.-log20222022 D.1[答案] B[解析] 因为函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图像与直线x=1交于点P,所以P(1,1).因为f(x)=xn+1,所以f′(x)=(n+1)xn,则f′(1)=n+1,即切线的斜率为n+1,故曲线f(x)在P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=,即该切线与x轴的交点的横坐标为xn=,所以log2022x1+log2022x2+…+log2022x2022=log2022(×××…×)=log2022=-1.二、填空题3.(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.[答案] -3[解析] 本题考查导数的几何意义.曲线y=ax2+过点P(2,-5),则4a+=-5①又y′=2ax-,所以4a-=-②由①②解得所以a+b=-3.-9-\n4.(文)若函数f(x)=x3-f′(-1)·x2+x+5,则f′(1)=________.[答案] 6[解析] ∵f(x)=x3-f′(-1)·x2+x+5,∴f′(x)=x2-2f′(-1)·x+1,将x=-1代入上式得f′(-1)=1+2f′(-1)+1,∴f′(-1)=-2,再令x=1,得f′(1)=6.(理)点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是________.[答案] [解析] 作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=x2-lnx相切,则切点到直线y=x-2的距离最小.由y′=2x-=1,得x=1,或x=-(舍去).∴切点为(1,1),它到直线x-y-2=0的距离为d===.三、解答题5.(文)求下列函数的导数(1)y=sinxcosx(2)y=x2ex(3)y=(+1)(-1)(4)y=sin(1-2cos2)[解析] (1)y′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cosxcosx-sinxsinx=cos2x.(2)y′=(x2)′ex+x2(ex)′=2x·ex+x2·ex=(x2+2x)ex.(3)∵y=1-+-1=-x+x-∴y′=-x--x-=-x-(1+x-1)=-(1+).(4)∵y=sin(-cos)=-sinx∴y′=(-sinx)′=-cosx.(理)求下列函数的导数:-9-\n(1)y=ex·lnx(2)y=x(x2++)(3)y=sin2(2x+)(4)y=ln(2x+5).[解析] (1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·=ex(lnx+).(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=4sin(2x+)·cos(2x+)=2sin(4x+).(4)设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,∴y′=·(2x+5)′=.6.(文)已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.[解析] (1)由f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求的直线方程为y=-2.(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f′(x0)=3x-3.又直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=,又=3x-3,即x-3x0+2=3(x-1)(x0-1),解得x0=1(舍去)或x0=-,故所求直线的斜率为k=3×(-1)=-,-9-\n∴y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.(理)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.[解析] (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+.于是解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.-9-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:14:01
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