首页

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数在函数最值及生活实际中的应用(含解析)北师大版

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/10

2/10

剩余8页未读,查看更多内容需下载

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数在函数最值及生活实际中的应用北师大版一、选择题1.函数y=(  )A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.有最大值2,有最小值-2D.无最值[答案] C[解析] ∵y′==.令y′=0,得x=1或-1,f(-1)==-2,f(1)=2,故选C.2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是(  )[答案] C[解析] 由y=f′(x)的图像易知当x<0或x>2时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当0<x<2时,f′(x)<0,故函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减.3.已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意x∈R总有f′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为(  )A.(-∞,4) B.(-∞,-4)C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(4,+∞)[答案] D-10-\n[解析] 方法一(数形结合法):由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率k=f′(x)<3.又y=3x-15过点(4,-3),k=3.∴y=f′(x)和y=3x-15在同一坐标系中的草图如图,∴f(x)<3x-15的解集为(4,+∞),故选D.方法二:记g(x)=f(x)-3x+15,则g′(x)=f′(x)-3<0,可知g(x)在R上为减函数.又g(4)=f(4)-3×4+15=0,∴f(x)<3x-15可化为f(x)-3x+15<0,即g(x)<g(4),结合其函数单调递减,故得x>4.4.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  )A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)[答案] D[解析] 由题意得,a>x-()x (x>0),令f(x)=x-()x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)min>f(0)=-1,∴a>-1,故选D.5.若函数f(x)=sin2x+sinx,则f′(x)是(  )A.仅有最小值的奇函数B.仅有最大值的偶函数C.既有最大值又有最小值的偶函数D.非奇非偶函数[答案] C[解析] f(x)=sinxcosx+sinx,则f′(x)=cosxcosx+sinx·(-sinx)+cosx=cos2x-sin2x+cosx=2cos2x+cosx-1,显然f′(x)是偶函数,又因为cosx∈[-1,1],所以函数-10-\nf′(x)既有最大值又有最小值.6.(文)如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10000m2,鱼塘前面要留4m的运料通道,其余各边为2m宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为(  )A.长102m,宽m B.长150m,宽66mC.长、宽均为100米 D.长150m,宽m[答案] D[解析] 设鱼塘长、宽分别为ym、xm,依题意xy=10000.设占地面积为S,则S=(3x+8)(y+6)=18x++30048,令S′=18-=0,得x=.此时y=150.(理)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,则高为(  )A.cm B.cmC.cm D.cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为xcm,则底面半径为(cm),其体积为V=πx(202-x2)(0<x<20),V′=π·(400-3x2),令V′=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V′>0,当<x<20时,V′<0,∴当x=时,V取最大值.二、填空题7.函数f(x)=x2-2lnx的最小值为________.[答案] 1[解析] 由f′(x)=2x-=0,得x2=1.又x>0,所以x=1.因为0<x<1时,f′(x)<0,x>1时f′(x)>0,所以当x=1时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)=1.8.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是________.-10-\n[答案] (-∞,0)[解析] f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f′(x)=0有两个不等实根.∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1.要使f′(x)=0有两个不等实根,则a<0.9.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为________.(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽)[答案] d[解析] 下图为圆木的横截面,∵b2+h2=d2,∴bh2=b(d2-b2).设f(b)=b(d2-b2),∴f′(b)=-3b2+d2.令f′(b)=0,由于b>0,∴b=d,且在(0,d]上f′(b)>0,在[d,d)上,f′(b)<0.∴函数f(b)在b=d处取得极大值,也是最大值,即抗弯强度最大,此时长h=D.三、解答题10.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0成立.[解析] (1)g(x)=lnx+,g′(x)=,由g′(x)>0,得g(x)的单调增区间为(1,+∞);由g′(x)<0,得g(x)的单调减区间为(0,1).因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以g(x)min=g(1)=1.-10-\n(2)设h(x)=g(x)-g(),则h′(x)=-,h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上为减函数.当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g();当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g();当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g().(3)由(1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)<,对任意x>0成立⇔由g(a)-1<,得0<a<e.一、选择题1.在[,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=+在同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[,2]上的最大值是(  )A. B.4C.8 D.[答案] B[解析] 因为g(x)=+,且x∈[,2],则g(x)≥2=3,当且仅当x=1时,g(x)min=3.又f′(x)=2x+p,∴f′(1)=0,即2+p=0,得p=-2,∴f(x)=x2-2x+q.又f(x)min=f(1)=3,∴1-2+q=3,∴q=4.∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,x∈[,2].∴f(x)max=f(2)=4.-10-\n2.如果函数f(x)=x3-a2x满足:对于任意的x1、x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则实数a的取值范围是(  )A.[-,] B.(-,)C.[-,0)∪(0,] D.(-,0)∪(0,)[答案] A[解析] 解法一:(赋值法)令a=0,可知选A.解法二:对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,只需f(x)max-f(x)min≤1即可.f′(x)=x2-a2=(x+a)(x-a),当|a|≥1时,f′(x)≤0,函数f(x)=x3-a2x在[0,1]上单调递减;当|a|<1时,函数f(x)=x3-a2x在[0,|a|]上单调递减,在[|a|,1]上单调递增,故有或解得a∈[-,],选A.二、填空题3.(2022·广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.[答案] 4[解析] (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间(0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,因此g(x)max=g()=4,从而a≥4.当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.综上可知a=4.4.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P-10-\n(元/吨)之间的函数关系为P=24200-x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x(元).则该厂每月生产________吨产品才能使利润达到最大.最大利润是________万元.(利润=收入-成本)[答案] 200 315[解析] 每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-x2)x-(50000+200x).=-x3+24000x-50000(x≥0).由f′(x)=-x2+24000=0,解得x1=200,x2=-200(舍去).因f(x)在[0,+∞)内只有一个极值点x=200使f′(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=-×2022+24000×200-50000=3150000(元).所以每月生产200吨产品时的利润达到最大,最大利润为315万元.三、解答题5.(文)(2022·临川模拟)已知x=2是函数f(x)=x3-bx2+2x+a的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若当x∈[1,+∞)时,f(x)->a2恒成立,求实数a的取值范围.[解析] (1)∵f′(x)=x2-2bx+2,且x=2是f(x)的一个极值点,∴f′(2)=4-4b+2=0,解得b=,∴f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<1,∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞);由f′(x)<0得1<x<2,∴函数f(x)的单调减区间为(1,2).(2)由(1)知,函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.∴当x=2时,函数f(x)取得极小值也是最小值,故f(x)min=f(2)=a+.当x∈[1,+∞)时,f(x)->a2恒成立等价于a2<f(x)min-,即a2-a<0,∴0<a<1.故实数a的取值范围是(0,1).-10-\n(理)(2022·泰安一模)已知函数f(x)=xlnx.(1)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.[解析] (1)由题意得g′(x)=f′(x)+a=lnx+a+1,∵函数g(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,∴当x∈[e2,+∞)时,g′(x)≥0,即lnx+a+1≥0在[e2,+∞)上恒成立,∴a≥-1-lnx,令h(x)=-lnx-1,当x∈[e2,+∞)时,lnx∈[2,+∞),∴h(x)∈(-∞,-3],∴a的取值范围是[-3,+∞).(2)∵2f(x)≥-x2+mx-3,即mx≤2xlnx+x2+3,又x>0,∴m≤,令t(x)==2lnx+x+,∴t′(x)=+1-==,令t′(x)=0得x=1或-3(舍).当x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)在(0,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)在(1,+∞)上单调递增.t(x)min=t(1)=4,∴m≤t(x)min=4,即m的最大值为4.6.(文)(2022·浙江高考)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.[解析] (1)∵a>0,x∈[-1,1](ⅰ)当0<a<1时,f(x)=当x∈[-1,a]时,f′(x)=3x2-3=3(x2-1)<0∴f(x)在[-1,a]递减.当x∈[a,1]时,f′(x)=3x2+3>0,∴f(x)在[a,1]递增.∴g(a)=f(a)=a3.(ⅱ)当a≥1时,f(x)=x3+3(a-x),-10-\n此时f′(x)=3x2-3<0,∴f(x)在[-1,1]单调递减,∴g(a)=f(1)=3a-2.综上g(a)=.(2)令h(x)=f(x)-g(a).(ⅰ)当0<a<1时,g(a)=a3.若x∈[-1,a]时,h(x)=x3+3(a-x)-a3,h′(x)=3x2-3<0,∴h(x)在[-1,a]递减,∴h(x)在[-1,a]上的最大值为hmax(x)=h(-1)=3a+2-a3(0<a<1).令t(a)=-a3+3a+2t′(a)=-3a2+3=-3(a2-1)>0.∴t(a)在(0,1)递增.∴t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)≤g(a)+4.若x∈[a,1].h(x)=x3+3x-3a-a3.h′(x)=3x2+3>0,∴h(x)在[a,1]递增,∴hmax(x)=h(1)=4-3a-a3,∵0<a<1,∴h(1)<4.故f(x)≤g(a)+4.(ⅱ)当a≥1时,g(a)=3a-2,∴令h(x)=f(x)-g(a)=x2+3(a-x)-3a+2h′(x)=3x2-3<0,∴h(x)在[-1,1]上递减,∴hmax(x)=h(-1)=4,∴f(x)≤g(a)+4.综上所述,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.(理)(2022·山东高考)设函数f(x)=-k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.-10-\n[解析] (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-k(-+)=-=由k≤0可得ex-kx>0,所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈(0,+∞).因为g′(x)=ex-k=ex-elnk,当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增.所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当解得e<k<.综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为(e,).-10-

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

发布时间:2022-08-26 00:13:59 页数:10
价格:¥3 大小:148.89 KB
文章作者:U-336598

推荐特供

MORE